解题反思

夏志辉

摘 要：解题教学是高中数学教学的主要部分，在教学中，注重解题反思，可以提高学生的思维能力. 本文从四个方面入手谈提高思维能力的途径：反思解题中题目间的联系；反思解题的完善性；反思解题方法的多样性；反思解题中错误的根源. 阐述了教师如何引导学生进行解题反思，以提高学生的思维能力.

关键词：解题教学；解题反思；思维能力

在数学教学中，我们常遇到这样的情况：“这种题型讲过n次，可考试时学生还是错了！”究其原因，主要是因为学生为解题而解题，只重视解题的结果和数量，而不重视解题后的反思，更不重视思维能力的培养. 通过反思，学生对解题的科学性，正确性，深层性有了更深的认识，既能牢固掌握知识，也能提高自己的解题能力. 下面笔者结合平时的教学实践，谈谈如何引导学生解题后进行反思，如何反思，以帮助学生养成良好的解题习惯，提高思维能力.

反思题目间的联系，培养学生思维的独创性

教师在解题教学时，要善于引导学生反思与题目有关联的一系列相关问题，按思维的进程让学生进行联想，使不同学生都能发现探索不同层次的问题，从而激发全体学生的学习兴趣，真正体现以学生发展为本的教学原则和大众数学课程的理念.

例1 设P（x，y）是圆x2+y2=1上的任意一点，求u=的最大值.

反思1：u=与斜率公式结构相似，马上联想到u=可看成圆上的点P（x，y）与点A（-1，2）连线的斜率，从而转化为求直线PA的斜率的最大值，由数形结合可知，当直线PA与圆相切时，斜率最大（另一条切线的斜率不存在），易求得切线的斜率为k=-，所以umax= -.

反思2：联想函数与方程，由u=得y-2=u（x+1），这是一条直线方程，根据题意，此直线与圆有公共点，因此y-2=u（x+1），x2+y2=1有解，消去y得（u2+1）x2+（2u2+4u）x+u2+4u+3=0，由Δ≥0得u≤ -，即umax=-.

反思3：联想平面几何知识，直线与圆有公共点，故圆心（0，0）到直线的距离d≤1，从而得出u≤-，即umax=-.

反思4：联想圆的参数方程，由于点P（x，y）在圆上，所以可令x=cosθ，y=sinθ，则u=，即sinθ-ucosθ=u+2，

所以sin（θ-φ）=（其中tanφ=-u）. 利用正弦函数的有界性，得出u≤-，即umax=-.

实践证明，每一次解题教学，都是一次师生探索发现的过程. 反思，不仅仅能使学生体会到成功的喜悦之情，还可以帮助学生把各种知识各种方法联系起来，形成解决问题的信息网络和最佳方案. 通过反思，学生能在更大程度上完善自己的思维品质，提升自己的综合解题素质，同时将所学知识进一步“内化”，使自己有一个长足的进步.

反思解题的完善性，培养学生思维的深刻性

有的学生解完题后，没有进行题后反思的习惯，不静下心反思解题的方法、过程、变式，更没有反思解题过程是否完善或者存在某个因素是否考虑，导致解题的遗漏或错误等诸如此类的问题，这种只重结果和数量的低效解题是学生中一种严重的弊端，值得每一个数学教师重视. 相反，如果我们能够在解题后对解题的过程是否完善进行反思，不但可以减少错误，更能有效地培养学生思维的深刻性.

例2 设集合A={xx2-3x-10≤0}，B={xm+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围.

解：因为A={xx2-3x-10≤0}={x-2≤x≤5}，且A∪B=A，所以B？哿A.

又m+1≤2m-1，2m-1≤5，m+1≥-2，

解得：2≤m≤3，

所以，m的取值范围是[2，3].

由A∪B=A，有B？哿A，在进行运算时，只考虑了B≠，而忽略B=的情况，因此解题的过程并不完善，导致结果错误，必须补上B=的情形，m+1>2m-1，得m<2，得到m的取值范围是（-∞，3].

由此可见，如果解题后不进行反思，很容易因为忽视某些因素导致解题的不完整或错误，因此，我们必须从平时的每一节课、每道习题开始养成解题后反思的习惯，及时发现遗漏，弥補遗漏，完善过程，最大限度减少错误，避免错误，从而更深刻、更准确、更全面对概念、定理、公理进行理解，这对培养学生思维的深刻性也大有裨益.

反思解题方法的多样性，培养学生思维的广阔性

引导学生从不同的角度、不同的方位进行反思，或从方法技巧反思，可以获得解决问题的不同方法. 在解题过程中，学生的解题方法有时是教师始料不及的，教师要善于了解学生的思维动态，鼓励学生进行反思，以唤醒其解题的灵感，抓住关键，及时点拨，指明方向，促使思维的连锁反应，从而达到总结规律，寻求最优的快速灵活的解题习惯.

例3 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是________.

解法1：由二次方程根的分布知识和二次函数图象性质求解，应分类讨论（此处过程略）.

反思1：此题正面求解较繁，可运用补集思想，从反面求解.

解法2：①方程无实根等价于：Δ=4-4a<0？圯a>1，

②方程有两个正根等价于

Δ=4-4a≥0，->0，>0？圯a∈，

综合①②得方程无负根等价于a>1，运用补集思想可得方程至少有一负根等价于a≤1.

反思2：用参变分离思想，有如下解法.

解法3：原方程变形为：a=-= -+12+1≤1，因为x<0，故当x=-1时，-+12+1=1，此时可得a≤1.

解数学题，可以从不同的角度去思考. 不同的策略、角度得到不同的解题方法，不同的解题方法又有助于拓宽解题思路，提高学生分析问题的能力，促进学生思维的灵活性. 反之，如果仅限于满足结果，没有联想、类比、变式，久而久之解题的思路将会变得越来越狭窄，思维的创造性也会因此渐渐消失. 因此在解题中不能满足于某种解法，而是引导学生从各个不同视角去分析，留给学生更广阔的探求空间，使学生的思维在百花丛中绽放.

反思解题中错误的根源，培养思维的批判性

解数学题，出现错误在所难免，出现错误的因素多种多样，有的因为审题不清，有的因为概念模糊，有的因为解题策略有误，有的因为运算量大、计算马虎等，解题出现错误并不可怕，关键是要重视错误，反思错误，找出错误的地方，是由于什么原因导致的，如何改正，给学生一个对基础知识重新理解的机会，使学生在纠错的过程中牢牢掌握基础知识，在反思中不断得到提高.

例4 已知圆的方程x2+y2+2x+ky+k2=0和某一定点P（1，1），要使过点P所作圆的切线有两条，求k的取值范围.

解：圆的方程可变为：（x+1）2+y+=，

所以圆心坐标为-1，-，半径r=.

因为过P点要作圆的两条切线，

所以P点在圆外，即>，

得到：k2+k+4>0？圯k++>0.

又对k∈R，k++>0恒成立，

所以，k的取值范围是R.

反思本例的解题错误，是由于对圆的一般方程这一概念不够清楚，因为方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆，也可能是一个点或没有图形，只有化成标准形式：

x++y+=（D2+E2-4F），且D2+E2-4F>0时，此方程才表示圆，此题正是由于忽视这个条件导致错误，

因此，必须同时满足

4-3k2>0，>，

？摇？摇解得：-

所以，k的取值范围是-，.

通过对此错解题的反思，可以帮助我们及时发现解题过程出现的错误，剖析错误的原因，并及时地加以纠正，这样，既加深对基本概念的理解，又为以后正确、灵活应用奠定坚实的基础，更重要的是通过这种反思可极大培养学生思维的批判性.

总之，反思是数学解题教学不可或缺的重要环节，教会学生反思比学生多做题更为重要. 教师在解题过程中，不但要引导学生如何审题、分析问题、转化问题，更重要的是解题后启发学生从不同的角度、不同的层次进行反思，强化反思意识，培养反思习惯，提高思维能力.