《向量》章节复习课教学的探索与实践

苏建全

摘 要：复习是一种重要的学习活动，是知识的再学习，是对已有知识经验的再加工，是通过寻找知识的横向、纵向联系，构建知识网络，形成知识板块，从而使凌乱的知识条理化、系统化. 通过这一过程，可以把支离破碎、杂乱无章的知识变得少而精，完成知识由厚到薄的转化. 在新课程的理念下，复习课与新授课一样是教学的重要组成部分，通过复习，使学生对所学知识加深理解，查漏补缺，系统掌握，全面提高；通过复习课的教学不仅可以培养学生的归纳整理能力，提高学生对整体知识的认识水平，还可以培养学生综合运用知识来分析和解决问题的能力.

关键词：复习课；合作交流；集体智慧；展示分享；探究创新

根据教学的需要，常把复习课分为四类：经常性复习、章节性复习、阶段性复习和高考总复习. 笔者根据自己刚刚上过的一堂《向量》的章节复习研究课，谈谈对章节性复习课的设计、探索和实践.

■设计意图及流程

现实中的高中数学复习课教学中，很多教师并没有给予复习课以必要的重视，上复习课无非就是“三部曲”：罗列基础知识，讲解“典型”例题，布置课后作业. 这样的复习课学生没有完全参与到课堂活动中来，他们的创新精神、实践能力没有得到充分的培养，而且教学往往陷入到拼时间、低效率竞争的怪圈之中，教师教得累，学生学得苦，而且收效欠佳. 这样仅仅以获取知识、技能、技巧为目的的复习课教学，摧残和扼杀了学生的天性和创造力，不能培养出时代所需要的创新型人才，不符合当今教育的要求. 在新课程的理念下，为了改善学生的学习方式，优化学生的学习品质. 让学生通过亲身体验、动手实践、归纳整理、合作交流、自我展示、分享成果，从而培养学生积极主动、勇于探索的学习方式. 基于此，笔者设计了如下的教学流程.

1. 课前准备作业

①每位学生独立梳理本章知识；

②找出平时学习的疑难点；

③收集平时学习中的典型题目；

设计意图：培养学生收集、归纳、整理资料的能力，以及查漏补缺的意识.

2.？摇小组讨论

①前一天晚自习，将本班学生分成8个学习小组，每组推选出一名小组长，小组内同学们相互交流、讨论，分享各自的归纳小结. 在教师的指导下优化总结，形成集体成果.

②学生将自己的疑难问题相互商讨，若仍不能解决，在课堂提出，与教师一道研讨.

③教师整理出学生提出的典型题目，并筛选其中最有代表性的题目放在第二天课堂上研究.

设计意图：增强学生合作交流的意识.

3.？摇课堂设计

①教师在深入研究小组集体总结成果的基础上，由小组长推选出一名学生来详尽讲解本章基础知识.

②每小组提出本章学习中的疑难点，与教师和同学在课堂一起解答.

③学生讲解典型题目，教师参与并归纳提升.

设计意图：让学生的才能得到充分的展示，并体验分享、探究的快乐.

■课堂实践

（一）学生甲积极主动展示总结成果，并详细解读如下：

1.？摇向量的概念：向量、零向量、单位向量、共线向量、相等向量.

2.？摇向量的表达方式：

（1）有向线段：■，a；

（2）坐标表示：a=（x，y） .

3.？摇两个定理：

（1）共线向量定理：

若a≠0，那么b∥a？圳b=λa（λ存在且唯一）；

若a=（x1，y1），b=（x2，y2），b∥a？圳x1y2-x2y1=0.

（2）平行向量的基本定理：

已知e1，e2，是一组不共线的向量，那么对于平面内任何一个向量a，有且仅有一对实数λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2.

4.？摇两种运算：

（1）线性运算（加法、减法、数乘）

①加法的三角形法则，平行四边形法则及注意点.

②减法的三角形法则.

③运算律：a+b=b+a（交换律）；（a+b）+c=a+（b+c）（结合律）；λ（μa）=μ（λa）=（λμ）a（结合律）；λ（a+b）=λa+λb（分配律）；（λ+μ）a=λa+μa（分配律）.

（2）？摇数量积的运算

a·b=abcosθ，其中bcosθ叫做b在a方向上的投影.

设a=（x1，y1），b=（x2，y2），那么a·b=x1x2+y1y2，

cosθ=■=■，

a=■=■，a，b≠0，那么a⊥b？圳a·b=0？圳x1x2+y1y2=0.

5.？摇两种应用

（1）物理上的应用；

（2）几何上的应用.

教师点评：该同学讲解得很精彩，他带领同学们对基本定理、公式、法则一起朗读，并指出了注意之处（在预设之外）. 这说明给学生一粒种子，他会还给你一片森林. 相信我们的学生吧，他们的潜力和创造力是无限的. 我们根据该同学的总结，一起来提炼本章的知识结构及内在联系（如下图1所示）. 从而引导学生学会将书本由厚读薄.

教师：通过本章知识学习，还有哪些重要的数学思想方法呢？

学生：困惑……个别学生回答“数形结合”.

教师：还有吗？

学生：困惑……

教师：线性运算及数量积运算的运算律我们是怎么得来的？

学生：哦，类比实数运算得来的.

教师：非常好，说明需要类比推理.那么数形结合又在哪些地方体现呢？

学生：向量的坐标表示及运算.

教师：数形结合及类比的思想，贯穿数学学习的始终.

反思：通過上述四个渐次上升的步骤，即学生独立自主整理、小组内合作交流、课堂展示和教师归纳提升，我们的学生对整章知识的认识由杂乱到清晰，将书本由厚读薄，从而达到了构建知识网络的目的；另外，在整个过程当中使学生不仅获得了知识，更重要的是体验到获取知识的方法，增强了合作交流的意识，学会了借鉴他人的智慧，分享共同的成果. 这样就可以改善学生原有的学习方式，变被动接受为主动参与，将个体劳动整合为集体智慧，进而优化学生的学习品质，让学生的学习能力得到提升，实现可持续发展.

（二）学生提出的问题如下：

①学生乙：当a与b不共线时，若λa=μb？圳λ=μ=0. 为什么？

学生解答：λa与a共线，μb与b共线，但a与b不共线，要使λa=μb，只有λa与μb同时为0，即λ=μ=0.

教师解答：假设λ与μ不同时为0，那么，不妨假设μ≠0，则b=■a，所以b∥a，这与已知相矛盾. 所以假设不成立，故λ=μ=0.

教师点评：说明同一个问题，我们可以从正面去理解，也可以用反证法来加以证明.

②学生丙：a，b，c≠0，a·b=b·c，能否推导出a=c？

学生1解答：不能像实数一样约去b，没有解释原因.

学生2解答：因为a·b-b·c=0，？摇b·（a-c）=0，所以b⊥（a-c）或a-c=0.

教师补充解答：a·b=abcosθ1，

b·c=bccosθ2，

a·b=b·c，

所以acosθ1=ccosθ2，

所以a與c在b方向上的投影相等，a与c并不一定相等.

教师总结：由此说明，向量运算是由实数运算类比而来的，与向量运算的结合律一样，类比推理得出的结论并不一定成立.

③学生丁：为什么向量没有除法？

教师：你为什么想到这个问题呢？

学生丁：实数都有除法，可教材中的向量没有除法.

学生3：向量有方向，方向不能相除，所以向量没有除法.

学生4：由b=λa（a≠0）为什么不可以定义λ=■呢？

教师：首先，对于b=λa（a≠0）的问题，教材是这样定义的：

当λ>0时，则λ=■；

当λ<0时，则λ=-■；

当λ=0时，则b=0.

其次，对于你所说的：向量为何没有定义除法，如果大家有兴趣可以从数学推理的确定性和函数确定性两方面着手查阅资料，我们可以课下一起探讨.

……

反思：学生通过类比推理提出来这样一个具有创造性和挑战性的问题，课前教师没有预设，课堂上也没有给学生以正面解答，给学有余力的学生留下了探究的空间.

（三）能力训练

根据各小组选出的典型题目，教师仔细研究了一下，有代表性的一个题目如下，让我们来一起分享它的解答.

题目：已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则（■+■）·（■+■）的最大值为多少？

学生甲：（学生踊跃回答）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴建立直角坐标系. 设P（x，x），则向量■，■，■，■ 的坐标均能表示出来. 所以（■+■）·（■+■）=4（x-x2）.

教师：你怎么想到用坐标法？

学生丁：因为向量有两种表现方式，而此题题设为正方形，自然想到了用坐标法.

教师：非常好.

学生戊：（■+■）·（■+■）

=（■+■）·（■-■+■-■）

=（■+■）（■+■-2■）

=（■+■）·（■-2■）

=■·■-2■2+■·■-2■·■（■，■与■垂直）

=■·■-2■2.

设■=x，

原式=4x-4x2=-4x-■2+1≤1.

教师：你怎么想到此方法的？

学生戊：我通过分析发现■，■都可以化为■，■，■；■+■=■；而■，■与■垂直，此式可以化简.

教师：非常好. 还有没有其他方法？

随后，又有两位同学提出了自己的见解，都非常精彩，但思路、方法与学生戊类似，只是在技巧上有差异，在这里不逐一介绍了.

教师：同学们，刚才四位同学与大家一起分享了他们的研究成果，我们有什么体会？

学生5：向量有两种表现方式，因此，我们可以从两个角度来研究与向量有关的问题.

教师：这些同学的讲解很精彩，希望其他同学向他们学习（掌声）.

反思：讲解环节学生非常踊跃，但有的学生在讲解过程中只注重“这个题怎么做”，而未能讲出“为什么这样做”，即忽视了解题思路和方法. 教师在聆听学生讲解的基础上，要适时地给予点评和补充，并提炼、归纳出解决向量问题的基本方法：向量法和坐标法.

■总结

最初学生的自主归纳是独立完成的；然后小组讨论，教师参与其中，大家彼此分享，相互交流、学习，修改和完善自己的小结，上升到小组同学们的集体智慧；最后，学生上台讲解，自我展示. 在整个复习阶段，教师都重在搭建平台，引导和组织学生进行复习，学生的主体地位得到了充分的体现，合作交流的意识得到增强，综合素质得到全面提高. 这种由学生主动整理获得的知识，激发了学生对数学学习的兴趣，从而形成积极探索的态度，养成良好的学习习惯. 由于该课开放程度较高，对教师也是一个考验和促进.

不足之处：少部分学生整理知识水平有待提升，交流协作不够积极主动，学生在解决分析题目时语速过快，少部分学生没有完全融入其中. 分享型复习的方式有待进一步改进与完善.

通过本堂复习课的实践，笔者感触颇多：本堂课学生的天性得到了充分的释放，我们的学生潜力无限、创造力无限. 笔者深深地感到，原有的教学方式限制了学生的潜力与创造力，以传授知识及技能的教学方式确实需要改进，只有这样才能培养出适应时代发展的创新型人才.