从一题多解思考数学教学的有效性

孙娟

摘 要：对于椭圆的基本问题，学生比较容易掌握，但是教学中如何将基本的解析几何问题讲透、分析深刻，却是我们提高教学有效性的一种比较好的手段. 本文从一道基本的解析几何问题出发，以多解的视角分析探讨，进而帮助教师思考教学的有效性.

关键词：椭圆；解析几何；变式；有效性

众所周知，解题教学要讲求“精”和“钻”，不易“多”和“散”. 如何在复习教学中以精来渗透呢？笔者认为，多解性的分析是教学中不错的选择. 教师要在引导学生分析发散思考问题的基础上，进行多角度解题的指导，进而提高解题教学的有效性. 北师大张英伯教授专门就一题多解教学给出过这样的指导：“我认为中学数学教学中的一题多解是非常具有思维的、开发性的，如今的大学生非常了得，常常在一些基本问题中提出不同的思维见解、角度分析，我想这和他们在中学阶段进行的多解尝试是分不开的，因此我建议数学教育要坚持一题多解的培养，不要纠结于做题的数量，更要关注题的质量和思维发散性的培养.” 正是鉴于张教授的话，我们来分析一道解析几何试题，来看看如何提高教学有效性.

问题：椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=.

（1）求椭圆E的方程；

（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.

分析：此题从条件上看是完备的.因为椭圆的对称轴为坐标轴，坐标轴包括了x轴和y轴，所以椭圆的中心为原点，椭圆的离心率确定且过定点，焦点在x轴上，这样的椭圆一定是唯一确定的，可求出其方程. 由于椭圆是固定的，焦点位置可确定，点A也是定点，在平面直角坐标系中，△AF1F2是固定的，所以其内角的平分线位置在坐标系中也必然是确定的，故此题条件完整、合理，问题答案唯一，题目是完备严密的. 本题第1小题考查椭圆的标准方程、离心率的定义、方程的思想等. 第2小题由于解法很多，所以考查的内容也比较多，主要考查三角形角平分线的定义、平面几何、三角函数、求点的轨迹方程等知识.

解析：（1）e==，e2=1-=，所以=. 设椭圆E的标准方程为：+=1（a>b>0），将点A（2，3）代入椭圆，得a2=16，b2=12，所以椭圆E的方程为+=1.

下面重点对第2小题进行教学有效性分析.

教师：如果从概念角度进行分析，请同学们思考如何解决呢？

学生1：设∠F1AF2=2θ，因为AF2⊥x轴，AF1=5，AF2=3，F1F2=4，所以tan2θ=，即=，解得tanθ=，所以直线l的倾斜角α与θ互余，则有tanα==2，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为2x-y-1=0. （概念当优先，朴实加自然）

说明：解法1的核心是利用好角平分线的定义，最基本的想法是此直线平分该角，如上述解法1. 此解法入口较低，仅利用角平分线定义即可，但计算过程对三角恒等变换的知识有一定要求.

教师：很好，能不能从距离角度分析呢？

学生2：设角平分线l上任意一点P的坐标为（x，y），所以点P到角的两边距离相等，即点P到直线AF1的距离与点P到直线AF2的距离相等，利用点到直线的距离公式可求得动点P的轨迹方程，所以直线l的方程为2x-y-1=0. （两距离相等，计算要本领）

说明：解法2角平分线上的点到角的两边距离相等，利用此结论，可以求出直线的斜率，解法不难，但计算中容易产生增根，即外角的平分线，所以还要根据图形判定舍去哪一个根. 此解法也是想法比较简单，思维要求不高，但计算量较大，且对结果需要检验，所以也不是最佳解法.

学生3：老师，我是构造图形的：延长AF2至Q（2，-2），则AQ=AF1=5，故△AF1Q是等腰三角形，从而顶角平分线所在直线过底F1Q的中点M（0，-1），所以直线l的方程为2x-y-1=0. （构造三角形，直线自现形）

说明：解法3是在观察图形后想到利用等腰三角形的性质和一些平面几何中的性质来解决问题，计算量很小，但对思维和技巧的要求都非常高，不太容易想到这样的解法.

教师：很好，有没有同学想到使用初中数学角平分线的相关性质呢？

学生4：设直线l与x轴的交点为P（x0，0），则由三角形内角平分线定理，得=. 又因为AF1=5，AF2=3，所以=，解得x0=，所以直线l的方程为2x-y-1=0. （角分线上点，发挥其特点）

说明：解法4利用角平分线定理来解决问题，但现在的新教材对此定理已经不作要求了.

学生5：老师，我想到利用内切圆处理：点A和F2的横坐标相等，所以AF2⊥x轴. 又因为AF1=5，AF2=3，F1F2=4，故Rt△AF1F2的内切圆半径r=1，从而Rt△AF1F2的内心坐标为（1，1），而角平分线通过内心，所以直线l的方程为2x-y-1=0. （巧用内切圆，直线就呈现）

说明：解法5利用直角三角形的内切圆的特殊性，若求出该三角形内切圆的半径，则可以得到内心的坐标，而角平分线又是通过三角形的内心的，这样就得出角平分线的方程.此解法的计算量较小，有一定思维含量，但要求不是特别高，是一种比较可取的解法.

学生6：老师，我发现利用角平分线的本质也能解决：F1关于直线l的对称点P必在直线AF2上，且AP=5，又因为AF2⊥x轴，AF2=3，所以点P坐标为（2，-2），所以kF1P==-，所以直线l的斜率k=2，所以直线l的方程为2x-y-1=0.

说明：解法6是利用点的对称性，其本质还是在利用角平分线的性质，此解法容易想到，求一个定点关于一条定直线的对称点的计算量也不大，是一种不错的解法.

教师：同学们，做得真不错，还有吗？（教师再提醒下）我们光学物理中常常用到什么？

学生7：利用椭圆光学的物理性质，可以得到：根据椭圆的光学性质，若光线从焦点F1出发，经过椭圆上的点A反射后，反射光线一定经过该椭圆的另一个焦点F2，并且椭圆在点A处的切线l′相当于平面镜，∠F1AF2的平分线l是反射光线的法线，所以只要求出椭圆在点A处的切线方程即可. 因为点A（2，3）在椭圆+上，所以椭圆在A处的切线l′方程为+=1，即x+2y-8=0，法线l与该切线互相垂直，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为2x-y-1=0. （光学来帮忙，解法当更强）

说明：解法7是利用椭圆的光学性质，解法是比较简洁的，但除了椭圆的光学性质外，还需要掌握过椭圆上任意一点的切线方程，如果不利用已知结论，计算量是很大的，虽然不是最佳解法，但其变式和推广具有很好的探究价值.

本题考查的知识比较基础，对于求椭圆的标准方程，学生比较容易解决，求角平分线的方程难度也不大，可以通过上述的七种方法得到，所以有很好的教学功能.从一题多解的教学中，我们思考多解性教学可以这么做：

1. 调动学生积极性

该多解性教学注定是积极、主动、向上的，通过对问题的集中性展示，在学习过程中将这类知识点要求的通性通法在问题中进行游刃有余的挖掘、发散，教师既集中力量进行了基本问题的攻克，又使得学生主动参与、认知了数学知识中的重点和难点，是高效和有效的.

2. 关注问题的整合性

教师要注重可选问题的整合性，本案例以及多解将问题的多方面知识进行了整合，纵观上述问题，从基本解法到光学性质，大大突出了一题多解在复习教学、教学有效性上的尝试，这正是复习教学最终所体现的——注重典型和整合性，将基本知识多样地运用于单一问题的教学中，是典型问题整合较好的体现.

3. 加强交流合作性

通过这样的多解性讨论教学模式在课堂教学和解题教学中的尝试，有利于激发学生对数学的浓厚兴趣，使他们感受到数学知识是自己亲自发现、数学问题是自己亲自解决的，懂得数学学习必须注重数学的基本知识和概念、注重解题中的相互合作交流、关注计算等等. 只有做到学习为了用，才真正能感受到数学学习的无穷乐趣.通过多解性教学的师生共同合作探讨，加深知识的主动运用和实施，因而这样的教学是充满活力的，值得下一阶段教师继续去研究和深化.

4. 改变思维定式性

每位学生给出的解答是其思维定式下的习惯性解法，但对于学生来说，多解性的教学课正是为了提高学生解决问题的全面性和基础知识的深刻性而设定，这样的尝试值得教师向学生推广，在解决问题中教师正确向学生传递了一种意识：努力去改变思维的定式性，将他人优秀的方式引导进自己的知识体系中，培养其运用知识灵活处理问题的能力.

新课程标准中强调要突出学生的主体地位，实践表明，一题多解正是解决学生主体地位和提高教学有效性的好方式. “学生边做边思考，教师引导，学生再深入思考”的教学方法，极大地提高了教学的效率，促进了学生的深度参与. 当发现学生思维受阻时，教师应及时点拨，及时评价、鼓励，不断增加学生的积极性和自信心.