高中数学建模的案例教学

蒋秀金

摘 要：为了让学生学到有用的数学，本文从数学教学活动的实际出发，通过几个实际问题的数学建模案例的教学，阐述高中数学建模的基本方法，培养学生的创新思维，提高应用数学的能力。

关键词：高中数学；数学建模；案例教学；应用数学

一、问题提出

如果我们在高中学生中作一个调查，问其学习数学的目的是什么？可能大部分同学的回答是：为了高考；如果我们在大学生中作一个调查，问其学习数学的用处是什么？可能大部分同学的回答是：应付考试。大部分同学学了十二年的数学，却没有基本的数学思维，更不用说用创新的思维去发现问题，解决问题了。加强数学建模教学正是在这种教学现状下提出来的。

我国普通高中新的数学教学大纲中明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”，要求“增强应用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索，使问题得到解决。” 《普通高中数学课程标准（实验）》中要求数学建模以不同的形式渗透于必修和选修课程中。数学建模进入高中数学课程成为必然，作为一线教师必须改变观念，积极探索数学建模教学案例，为学生学习数学营造更为广阔的空间。

二、数学建模

著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究”。

数学模型的建立有多种方法，怎样选择一个最佳的模型，这是一个难点，选择数学模型更是反映了数学能力。高中数学建模要以多种方式渗透进各个模块的学习中，其研究的实际问题可涉及多个方面，如函数与导数问题、三角函数问题、立体几何问题、解析几何问题、数列问题、概率问题等。

具体地讲数学建模的步骤大致如下：

实际问题→建立模型→数学问题→数学解→实际解→检验

由此，我们可以看到，把实际问题抽象为数学问题是培养学生运用数学建模解决实际问题的关键所在，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模成为学生思考问题的方法和习惯。

三、教学案例

层次一、数学建模案例教学——常规课堂教学

案例1 数学必修四第三章《三角恒等变换》章头图中，给出这样一个问题：某城市的电视发射塔（BD）建在市郊的一座小山上，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得地面A，C两点间距离约为67米，从点A观测电视发射塔的视角（∠BAD）约为45°，求这座电视发射塔的高度。

评析 这是应用数学的好时机，教师要注意引导，对所考察的实际问题进行抽象分析，建立相应的数学模型（三角函数模型），提出新知识，即两角和与差公式，激发学生的求知欲。 因此，要重视章前问题的教学，使学生明白建立数学模型的实际意义。

分析二 （建模法）立体几何模型——长方体或正方体

建模过程：学生通过分析题目观察式子，可发现三条线段两两垂直，故会联想到熟悉的长方体或正方体模型，从同一顶点A出发的三条棱两两垂直，那么根据图形就很容易得到判断△BCD的形状是锐角三角形，答案是C。

层次三、数学建模案例教学——学生自选问题

案例5 用分期付款的方式购买价格为1300元的手机，如果购买时先付300元，余款分20次付完，以后每月付50元加上本月欠款的利息。如果月利息为1%，那么第10个月要付多少钱？总共要付多少钱？

点评：这是学生很感兴趣的问题，从列举到归纳总结，学生能切身体会到数学的价值，同时也彰显了等比数列前n项和的作用。教师要关注生活中与学生联系密切的问题，引导学生抽象问题，解决问题并应用于实际生活。

案例6 趣味数学问题—“公主领地”

公主狄多由于不满父母做主的包办婚姻，逃到了地中海彼岸——北非，为了谋生，她托人同当地部落的酋长谈判，打算在海边购买一块土地，但是贪婪的酋长索要高价，而且只肯售出一块公牛皮所能围住的土地，公主二话没说，马上拍板成交。她围出了一块面积很大的土地，她是怎样围的呢？

数学模型——解析几何模型（图形的周长与面积）

建模过程：把公牛皮切成细条，然后用这些细条结成一根极长的绳子，然后学生绘制不同图形进行计算、比较；

建模关键点：周长一定的前提下，什么样的图形面积最大？

问题结论：周长相等的三角形中，正三角形面积最大；

周长相等的四边形中，正方形面积最大；

猜测：周长相等的n边形中，正n边形面积最大；

进一步猜测：边数n不断增加，正n边形近似于圆，即周长相等的图形中，圆面积最大。

四、总结反思

利用数学建模解决实际问题，从多层次思考问题，培养学生的创新思维能力是很有益的，是提高学生素质，进行素质教育的一条有效途径。同时研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的实践能力，加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义。

参考文献：

[1]王兵团.数学建模基础[M].北京：清华大学出版社， 2004.

[2]白广明.培养建模能力 增强应用意识[J].数学教学通讯，2007（3）.

[3]封平华，李明振.高中数学建模教学策略探究[J].北京：教学与管理，2013（24）.