圆锥曲线的一个优美性质

张元方

摘 要：解析几何是用代数方法研究几何问题的重要学科. 解析几何中的直线过定点问题，有关定值（最值）问题正在成为各级考试的热点，备受命题者的青睐. 本文利用研究圆锥曲线性质的一般方法：设方程，联立方程组，消元，利用一元二次方程根与系数的关系以及设而不求法，得到了圆锥曲线中满足一定条件的直线过定点的一组优美的统一性质.

关键词：圆锥曲线；过定点；统一性质

圆锥曲线有着众多的优美性质，只要我们善于探究和思考，就会发现它，它如同一道美丽的风景愉悦了我们的身心.在对圆锥曲线的研究中，笔者发现圆锥曲线的一组优美统一的性质，现叙述如下：

性质1 设A，B是抛物线y2=2px（p>0）上异于原点O的两个不同点，直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，且α+β=，则直线AB恒过定点M（-2p，0）.

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1x2≠0，所以直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+b，则将y=kx+b与y2=2px联立消去y，得k2x2+（2kb-2p）x+b2=0，由韦达定理得x1x2=. 当α+β=时，tanαtanβ=1，所以·=1，即x1x2=y1y2. 又y1y2==2p，所以=2p，=2p，b=2pk. 因此直线AB的方程为y=kx+2pk，即y=k（x+2p）. 所以直线AB恒过定点M（-2p，0）.

性质2 设A，B是椭圆+=1（a>b>0）上异于顶点A1（-a，0）的两个不同点，直线A1A，A1B的倾斜角分别为α，β，且α+β=，则直线AB恒过定点M-，0.

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1≠-a，x2≠-a，所以直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+t，则将y=kx+t与+=1联立消去y，得b2x2+a2（kx+t）2-a2b2=0，整理得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0. 由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，于是y1y2=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=.

又因为α+β=，所以tanαtanβ=1，从而·=1，即x1x2+a（x1+x2）+a2=y1y2. 又将x1+x2=，x1x2=，y1y2=代入上式并整理得（t-ak）[（a2-b2）t-ak（a2+b2）]=0，易知t-ak≠0，所以t=，因此直线AB的方程为y=kx+，

即y=kx+，所以直线AB恒过定点M-，0.

性质3 设A，B是双曲线-=1（a>0，b>0）上异于顶点A1（-a，0）的两个不同点，直线A1A，A1B的倾斜角分别为α，β，且α+β=，则直线AB恒过定点M-，0.

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1≠-a，x2≠-a，所以直线AB的斜率存在. 设直线AB的方程为y=kx+t，则将y=kx+t与-=1联立消去y，得b2x2-a2（kx+t）2-a2b2=0，整理得（a2k2-b2）x2+2a2ktx+a2t2+a2b2=0. 由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，于是y1y2=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=.

又因为α+β=，所以tanαtanβ=1，从而·=1，即x1x2+a（x1+x2）+a2=y1y2. 又将x1+x2=，x1x2=，y1y2=代入上式并整理得（t-ak）[（a2+b2）t-ak（a2-b2）]=0，易知t-ak≠0，所以t=，因此直线AB的方程为y=kx+，

即y=kx+，所以直线AB恒过定点M-，0.