一道貌似正确向量题错解的剖析与反思
2014-04-29徐斌吴甬翔
徐斌 吴甬翔
摘 要：平面向量具有集合与代数形式的双重性，它是中学数学知识网络的重要交汇点，也是各类考试命题的重点和热点内容. 尽管教师对这块知识的讲解已经十分详尽了，但为什么学生在处理有关向量问题时，总会出现各种问题呢？对一道典型平面向量题的错解进行深入剖析和教学反思显得十分必要.
关键词：平面数量积；几何代数形式；错解剖析；教学反思
在教学中，如果适当地拓展知识，在解题之后引导学生研究、思考，，之间的关系与A，B，C三点共线的联系，可得到一般性的结论：若A，B，C三点共线，O为线外一点，则=λ+（1-λ），反之也成立
这一结论在许多解题中得到应用，这类依托教材例题的知识点挖掘拓展不仅使学生能打通前后知识间的联系，更渗透了一种研究问题的方法；就考试层面而言，让学生切实感受到某些高考题源于教材的特点，从而提高学生对教材的重视程度. 对于教师来说，在日常教学中，应善于用联系的观点研究教材的例题和习题，发挥数学教材的内在力量，使学生学会数学.
题目：已知向量m，n满足：对任意λ∈R，恒有m-λ（m-n）≥，则
（ ）
A. m=n-m B. m=n
C. m=n+m D. m=2n
此题主要考查平面向量数量积的相关知识，但从学生解答情况看，对向量数量积相关运算掌握不好，将许多实数的结论与数量积运算相混淆.
错解：原不等式等价于4（m-n）2λ2-8λm·（m-n）+4m2-（m+n）2≥0对λ∈R恒成立，所以Δ≤0，即64（m·（m-n））2-16（m-n）2[4m2-（m+n）2]≤0.
所以4m2·（m-n）2-4m2·（m-n）2+（m-n）2·（m+n）2≤0，
所以（m-n）2·（m+n）2≤0，即（m-n）2≤0. 所以m=n，选B.
错因剖析：上述计算过程中，运用了（m·n）2=m2·n2，此等式并不一定成立，只有当m与n共线时才成立，所以不能用这个结论. 在平面向量这一章中，我们不能把实数的结论想当然地拿过来用，实际上，实数中的很多结论在向量中是不成立的，如：①若a·b=0，则a=0或b=0；②若a·b=c·b，且b≠0，则a=c；③若a·b=λb2，则a=λb；④a+ba-b=a2-b2；⑤（a·b）2=a2·b2；⑥若a=b，则a·c=b·c.
这些结论都是错误的. 在平面向量数量积知识运用时，我们要慎重对待课本上没有出现过的结论、定理.如何求解此题呢？我们知道平面向量是数形结合的典型载体，它既有几何的表示，又有代数的运算，针对本题，笔者试着从形的角度来突破.
解法一（数形结合）：原不等式即为（1-λ）m+λn）≥，对λ∈R恒成立.
记m=，n=，=（1-λ）m+λn，
即=（1-λ）+λ，故P，A，B三点共线.
如图1，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，C为对角线交点，则==.
图1
所以原题可等价转化为，点C为△AOB中边AB的中点，P是直线AB上任一点，若≥恒成立，则OA与OB之间满足什么关系？
由图易知，当⊥时，≥恒成立，
所以△ABC为等腰三角形，即OA=OB，所以m=n，选B.
通过作业批改，发现有部分学生根据选择题这一题型特点，结合数量积运算，采用特殊值法求解此题，笔者发现也不失为一个好解法.
解法二（特殊法）：当λ=0时，原不等式即为m≥，化简整理得3m2≥n2+2m·n恒成立，
所以cos
当λ=1时，n≥，同上可得m≤n.
由λ的任意性知m=n，选B.
此解法虽然只取了λ=0，1，两个特殊值求解，但在求解过程中，仍要求熟练应用平面数量积的基本知识.
反思平面向量知识的教学，笔者认为主要问题还是在于“教”，比如在课堂上讲解向量的运算法则时，总觉得有点“轻视”向量运算法则成立的推导过程，“重视”运算法则的应用技巧，从而使学生缺乏对向量运算本质上的认知，只从形式上直观地认为与实数运算相同，导致知识点混淆. 还有在平时教学中，有相当多的教师不喜欢使用教材中的例题和习题，认为教材中的例题和习题过于简单，对提高学生的解题能力，训练学生的思维没有太多帮助. 通过教学实践，教材中的例题和习题具有很强的基础性、典型性、示范性和迁移性，许多例题虽然简单，但它们反映了相关数学理论的本质属性，蕴涵着重要的数学思想方法. 这些数学思想方法对于解决其他数学问题有十分显著的现实作用，比如（人教版《数学必修4》第89页例6）已知任意两个非零向量a，b，试作=a+b，=a+2b，=a+3b，你能判断A，B，C三点之间的位置关系吗？为什么？
