桃花潭水深千尺 不及数列送我情

邢硕炜

摘 要：数列问题是典型的数学问题.2014年江苏高考20题是一道立意较高、能够有效考查学生思维品质的试题. 本文分析并拓展了这道高考数列题，给出了解决该问题的更一般的方法.

关键词：等差数列；H数列；分析；思考

在中学数学的教与学过程中数列问题是典型的数学问题，在提出、探究和解决问题的思维活动中，在考量分析问题和解决问题的能力时对数列问题又情有独钟.

2014年江苏高考有一道与数列有关的压轴大题.它定义一个新概念：若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{an}的前n项和Sn=am，即若数列前任意项的和是此数列中的项，则称{an}是“H数列”. 共设计了三个问题：一是在验证前n项和为Sn=2n（n∈N*）的特殊数列{an}是“H数列”；二是已知首项a1=1，公差d<0的等差数列是“H数列”，求d值；三是推理证明对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立.第三问即推证任意的等差数列是两个“H数列”的和，是一个难度极高的数学问题. 它不但符合考试评价在推理论证能力的考查时提出的“能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性”的要求，更符合《数学课程标准》中提出的有意义的数学学习应该是学生自我探究、体验和经历数学活动过程的课程理念.

不妨我们一起来探讨这个数列问题的思考与分析过程.

特例验证理解概念

第一问是验证前n项和为Sn=2n （n∈N*）的特殊数列{an}是“H数列”，较容易，意在熟悉理解怎样的数列是“H数列”. 事实上当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1（当n=1时，a1=S1=2），由此可知n=1时，S1=a1，当n≥2时，Sn=an+1，即得数列{an}是“H数列”. 看似容易，但它的目的是理解“H数列”的实在内涵.

概念理解验证特例

第二问是在已知首项a1=1，公差d<0的等差数列是“H数列”的条件下，求d值的设问，求解较容易，但它蕴涵着为第三问的解决提供实现方法与知识铺垫.

事实上等差数列{an}中有：Sn=na1+d=n+d=1+（m-1）d.

根据对于任意n∈N*，存在m∈N*，使得等式n+d=1+（m-1）d成立.

将n最特殊化，便有

当n=1时，1=1+（m-1）d，由d<0及m∈N*可得，m=1；

当n=2时，2+d=1+（m-1）d，由d=<0，m<2，再由m∈N*可得，m=1， d=-1.

下面证明d=-1时{an}是“H数列”.

此时，an=-n+2，Sn=-+=--+2+2=-+2.

由于n2-3n+4>0，且n2-3n=n（n-3）为偶数，所以∈N*，即存在正整数m=使得Sn=am成立.

立足特殊合理构造

第三问证明对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立，它是一个关于任意的正整数n都成立的命题，构造推证不能漫无目的，往往尝试从熟悉、特殊的等差、等比数列开始入手. 而特殊的等差数列有常数列、首项与公差有特殊关系的数列等. 显然，常数列不是“H数列”，因此考虑首项与公差有特殊关系的数列. 不妨首先判断首项a1与公差d相等的特殊等差数列是否是“H数列”.

此时，等差数列的通项为an=a1+（n-1）d=d +（n-1）d=nd，

前n项的和为Sn=na1+d=d.

考虑到∈N*，所以存在正整数m=，使得Sn=am，

因此，首项与公差相等的等差数列一定是“H数列”.

其次判断首项a1与公差d互为相反数的等差数列是否是“H数列”.

此时，等差数列的通项为an=a1+（n-1）d=（n-2）d，

前n项的和为Sn=na1+=-d=-2d.

由于n2-3n+4>0，且n2-3n=n（n-3）为偶数，所以∈N*，

即？埚m=使得Sn=am.

因此，首项a1与公差d互为相反数的等差数列{an}也一定是“H数列”.

根据以上判断可知，首项为，公差为的等差数列{bn}与首项为，公差为的等差数列{cn}都是“H数列”，且bn+cn=a1+（n-1）d=an，从而推证得，对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈ N*）成立.

归纳通性合理拓展

具有首项与公差绝对值相等性质的等差数列一定是“H数列”，这是特殊情形，那么，有更一般情况吗？

事实上，等差数列{an}为“H数列”，则有Sn=na1+，am=a1+（m-1）d，？摇

且对于？坌n∈N*，？埚m∈N*，使得Sn=am成立，

即有d=a1.

当n=1时，S1=a1；

当n=2时，d=，d=-a1，a1，a1，a1，…

当n=3时，d=，d=-a1，-a1，-2a1，2a1，a1，a1，a1，…

当n=4时，d=，d=-a1，-a1，-a1，-a1，-a1，-3a1，3a1，a1，a1，a1，a1，a1，…

结论1 满足条件公差d=a1的等差数列{an}是“H数列”.

事实上，等差数列{an}中公差d=a1，则an=a1+a1，

Sn=na1+×a1=a1=a1+a1=a1+-1a1，

由于n2+3n-2>0，且n2+3n=n（n+3）为偶数，所以∈N*.

即？埚m=，使得Sn=am.

结论2 满足条件公差d=a1（λ∈{-1}∪N*）的等差数列{an}是“H数列”.

事实上，等差数列{an}中公差d=a1，则an=a1+（n-1）d=a1+（n-1）a1，

Sn=na1+d=na1+×a1=a1+（n-1）a1+a1=a1+λ（n-1）++1-1.

由于λ∈{-1}∪N*，则λ（n-1）++1∈N*，

即？埚m=λ（n-1）++1，使得Sn=am.

结论3 推证对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立更一般的方法.

列表1待定表中“H数列”{bn}的首项x.

由an=bn+cn（n∈N*）得，

x+（a1-x）=d，即x==（λ，μ∈{-1}∪N*，λ≠μ）.

由λ，μ取值的任意性可知，任意的等差数列可以有无数种表示为两个“H数列”的和的形式. 如当λ=1，μ=-1时，等差数列{bn}的首项为，公差为，等差数列{cn}的首项为，公差为，都是“H数列”，且an=bn+cn.

总结回味认识反思

英国著名数学家怀特海在《教育的目的》一书中提出：在处理数学问题时，你的结果越具体越好，而涉及方法时，则是越一般越好. 推理的基本过程是将特殊的东西一般化，将一般的东西特殊化，没有一般化就没有推理，没有具体化则毫无意义.

利用所学知识和现有能力分析、解决一个全新的问题，应该具有一定的阅读理解、逻辑推理以及独立获取等能力. 文中分析并拓展了一道高考数列题，虽然是在新背景下研究的一道新概念题，但其解决问题的思维方式并不新. 还是立足于熟悉的基本数列——等差数列，立足于等差数列的首项和公差的特殊关系，立足于基本的研究问题的方法——特殊到一般再从一般到特殊，先猜想再证明方法. 还是常用发现问题、提出问题、解决问题的通性通法.