对一道高考试题的推广

王历权 党忠良

摘 要：据研究，较多高考圆锥曲线问题有深刻的知识背景，本文对江西省2013年理科的一道高考试题进行研究并加以推广，得到一个椭圆、双曲线和抛物线共有的性质，成为一座将三种曲线完美连接起来的桥梁.

关键词：高考试题；圆锥曲线；推广

先看江西省2013年理科第20题：

如图1，椭圆C：+=1（a>b>0）经过点P1，，离心率e=，直线l的方程为x=4.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在求λ的值；若不存在，说明理由.

图1

这个问题的解法如下：

椭圆方程为+=1，计算过程略；设直线AB的方程为y=k（x-1），带入椭圆方程+=1并整理，得（4k2+3）x2-8k2x+4（k2-3）=0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=①，

在直线AB方程中令x=4得，M的坐标为（4，3k）. 从而k1=，k2=，k3==k-.

注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k.

故k1+k2=+=+-+=2k-·②.

①代入②得k1+k2=2k-·=2k-1.

又k3=k-，所以k1+k2=2k3. 故存在常数λ=2符合题意.

思考一：注意到点P1，的横坐标与右焦点F的横坐标相同，由此想到此结论是否对一般的椭圆方程也成立，即：Pc，，当直线AB是经过椭圆C：+=1（a>b>0）右焦点F（c，0）的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l：x=相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，那么上述结论是否也成立？

证明：此结论依然成立.设直线AB方程y=k（x-c），A（x1，y1），B（x2，y2），则M，，由前面的证明知==k，且k3==k-.

联立椭圆方程+=1及直线AB方程y=k（x-c）得：

（b2+a2k2）x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0，则x1+x2=，x1x2=③，

故k1+k2=+=+-+=2k-·④.

③代入④得k1+k2=2k-·=2k-，

所以k1+k2=2k3. 故存在常数λ=2符合题意.

思考二：受圆锥曲线的阿基米得三角形性质的启发，当直线AB经过长轴上不与端点和原点重合的任意一点Q（m，0）（此处不妨假设m>0）时，与椭圆相交于A，B两点，与直线l：x=交于点M，Pm，，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，上述结论是否也成立？

证明：此结论依然成立. 设直线AB方程y=k（x-m），A（x1，y1），B（x2，y2），则

M，，==k，且k3==k-.

联立椭圆方程+=1及直线AB方程y=k（x-m）得：

（b2+a2k2）x2-2a2mk2x+a2m2k2-a2b2=0，则x1+x2=，x1x2=⑤，

故有k1+k2=+=+-+=2k-·⑥.

⑤代入⑥得k1+k2=2k-·=2k-，

所以k1+k2=2k3. 故存在常数λ=2符合题意.

思考三：将椭圆换成双曲线-=1，当直线AB经过x轴上位于双曲线内部的任意一点Q（m，0）（此处不妨假设m>0）时，与双曲线相交于A，B两点，与直线l：x=交于点M，Pm，，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，那么上述结论是否也成立？

图2

？摇证明：依然成立. 设直线AB方程y=k（x-m），A（x1，y1），B（x2，y2），则

M，，==k，且k3==k+.

联立双曲线方程-=1及直线AB方程y=k（x-m）得：

（b2-a2k2）x2+2ma2k2x-（a2m2k2+a2b2）=0，则x1+x1=，x1x2=⑦，

故有k1+k2=+=+-+=2k-·⑧.

⑦代入⑧得k1+k2=2k+，所以k1+k2=2k3. 故存在常数λ=2符合题意.

思考四：将椭圆换成抛物线y2=2px（p>0），当直线AB经过x轴上位于抛物线线内部的任意一点Q（m，0）时，与抛物线交于A，B两点，与直线l：x=-m交于点M，P（m，），记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，那么上述结论是否也成立？

图3

证明：上述结论依然成立；如图设直线AB方程y=k（x-m），A（x1，y1），B（x2，y2），则M（-m，-2mk），==k，且

k3==k+.

联立抛物线y2=2px及直线AB方程y=k（x-m）得：k2x2-（2mk2+2p）x+m2k2=0，

则x1+x2=，x1x2=m2⑨，

故有k1+k2=+=+-+=2k-·⑩.

⑨代入⑩得k1+k2=2k+，所以k1+k2=2k3. 故存在常数λ=2符合题意.

令人惊喜的是，上述椭圆、双曲线、抛物线的几个结论中，当直线A，B经过曲线右焦点F时，k3有着惊人的相似程度：椭圆中k3=k-，双曲线中k3=k+，抛物线中k3=k+1，这个问题将成为一座将三种曲线完美连接起来的桥梁. 在之后的一段时间里，笔者会继续就这个问题展开更深入的研究，希望能使这三条结论有一个更加统一的形式.