浅谈如何用好“数形结合”这把双刃剑

徐叶琴

摘 要：“数形结合”作为一种古老而又年轻的思想方法，越来越受到广大数学教师与学生的青睐，对其优越性也较为认可，但学生实际操作上用图意识不强、作图能力与技巧等有待强化，本文从精确性、完整性、等价性、存在性这四个方面提出了个人的思考与建议，从而使“数”与“形”达到完美结合.

关键词：数形结合；潜移默化；思考

单刃为刀，双刃为剑. 古时剑乃上等兵器，也是将帅之饰物. 古时人们赞赏剑的锋利，是因为它能给持剑者以威风、豪爽与侠气，令敌者胆寒，具有很强的杀伤力.

问题1：（2013·南京一模）若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数f（x）的一个“友好点对”（点对（P，Q）与点对（Q，P）看做同一个“友好点对”）. 已知函数f（x）=2x2+4x+1，x<0，，x≥0，则f（x）的“友好点对”有__________个.

图1

解析：由题意知，在函数f（x）=上任取一点A（a，-b），则该点关于原点对称的点B（-a，b）在函数f（x）=2x2+4x+1上，故-b=，b=2a2-4a+1，所以ea=-2a2+4a-1（a≥0）. 令g（x）=，h（x）=-2x2+4x-1（x≥0），由图象可知f（x）的“友好点对”有2个. 很显然，g（1）=

可是，今日人们论剑已经不仅仅是它兵器上的意义了，战时已被军舰、战斗机、坦克等所取代. 在现实生活中它被赋予了一种深刻的寓意和丰富的内涵，尤其是指一件事物的两面性，对于特定事物产生双面的影响. J·S·布鲁纳曾指出：掌握基本数学思想和方法能使数学易于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”，不但要让学生学习特定的事物，而且要让学生学习一般模式，模式的学习有助于理解可能遇到的其他类似事物，在基本数学思想和方法的指导下驾驭数学知识，就能培养学生的概括能力. 据此，数学教学不能满足于单纯的知识灌输，而是要使学生掌握数学最本质的“东西”，不能让学生深陷题海中，而是要让学生用数学思想和方法来掌握和解决问题，以此来培养与发展学生的能力，提高学生的数学素质.

在平时的数学教学中不少教师的“数形结合”往往偏重于化“数”为“形”，以“形”解题，再还原为“数”，在很多时候应用这种模式处理问题时的确有上述优势；然而这种片面的“数形结合”会诱导我们在解决问题时不知不觉地出现错误的解法与结论，故要注意以下几个导致这种局限性出现的因素. 下面浅析自己的一些想法，如有不当之处，望同行们不吝赐教.

（一）精确性：由于作图工具的限制、作图的技巧、对图形的认识水平的差异等原因，不同的人作出的图形在细节的把握、图形走势的趋向方面千差万别，而这些差异有时会影响到结论的正确性. 问题2是一道典型例题，高一时当例题讲，时常提醒；高二时经常巩固；到高三时，还是有不少学生犯错.

问题2：函数y=x与y=sinx的图象的交点有__________个.

变式：（1）函数y=x与y=tanx的图象在-，上的交点有__________个.

（2）函数y=tanx与y=sinx的图象在-，上的交点有__________个.

错解：在同一坐标系中作出这两个函数y=x与y=sinx的图象，如图2所示，易知有3个交点.

分析：因为在x∈0，时，sinx

不妨回顾一下——

在单位圆中，∠POA=x∈0，，则sinx，x，tanx的几何意义分别为有向线段MP、弧AP、有向线段AT，由S△OAP

图3

在现今高考竞争日趋激烈形式之下，一方面学子们埋头遨游于书山题海中非常辛苦，另一方面国家对人才不仅在知识，而且在能力方面的要求都在不断提高，于是提高学习效率，使学生在有限的时间内做到“轻松学习，高效学习”，既能减轻学生学习的负担，又能提高学生学习的兴趣. 学生在数学学习方面能否做到善于学习；解决问题能力能否提高，做到举一反三、触类旁通，关键在于学生是否具备一定的解决问题的思想方法，并以此为指导，而学生的解题思想方法又离不开教师的教导与潜移默化的影响.

到高二再遇到这一问题，笔者会这么教我的学生，要证明不等式即是比较大小，常用“作差、作商比较法”（学生异口同声地回答，但高一时我们遇到了问题，不能继续往下）. 如何比较x-sinx与0的大小？现在可以用导数法，构造函数f（x）=x-sinx. 因为f ′（x）=1-cosx≥0在R上恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，且f（0）=0，故在x∈0，时，f（x）=x-sinx>0=f（0），同时函数y=x与y=sinx的图象的交点有且只有1个. 我们还得继续，作商与1的大小又如何呢？当然我们还可以用导数法，我们不妨再看看其形式，理解成函数y=sinx，x∈0，的图象上一点（x，sinx）与原点之间的斜率，如图4所示，的值随x的增大而减小.

图4

由割线逼近切线法知，在x∈0，上的最大值接近函数y=sinx在原点处的切线的斜率. y′=cosx，y′=1，

换句话说，y=x是函数y=sinx在原点处的切线（点到本质）.

故∈，1，然后下结论不是轻而易举的事儿了！其变式题就不是个事儿！

变式题参考答案：（1）1；（2）1.

（二）完整性：有时候由于作图区域的限制，或人为的主观意识，这种以偏概全的做法在某些情况下也会导致错误的出现. 我们要注意图形的完整性，尤其是对有变化的地方一定要刻画清楚.

问题3：（2014·南通一模）设函数y=f（x）是定义域为R、周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1）时，f（x）=1-x2；已知函数g（x）=lgx，x≠0，1，x=0，则函数f（x）和g（x）的图象在区间[-5，10]内公共点的个数为___________.

变式：（3）函数y=x2与y=2x的图象的交点有__________个.

如果问题2讲清楚的话，就不会出现如图5的14个公共点的错误答案. 我们应注意到函数y=f（x）在x=10处的切线的斜率为0，而y=g（x）在x=10处的切线的斜率肯定大于0，为f（x）最后一段图象的割线，则f（x）与g（x）的图象在[9，10]上有两个交点，故正确答案是15个. 下面我们一起来验证（建议介绍给学有余力的学生）：f（x）=1-（x-10）2与g（x）=lgx的图象在[9，10]上有两个交点，即方程1-（x-10）2=lgx在[9，10]上有两个不相等的实根. 构造函数h（x）=lgx+（x-10）2-1，x∈[9，10]，h′（x）=+2（x-10）=. 记φ（x）=2x2-20x+在[9，10]上单调递增，且φ（9）=-18<0，φ（10）=>0，

所以存在唯一一个x0∈（9，10），使得h′（x0）=0，

由上表知，当x=x时，h（x）取到最小值h（x）（我们只要看它的正负，故不必把值求出来，由h（10）=0，及函数h（x）在（x0，10）上单调递增，得h（x0）<0），且h（9）=lg9>0，所以函数h（x）在[9，10]上有两个零点，故两函数f（x）=1-（x-10）2与g（x）=lgx的图象在[9，10]上有两个交点噢！变式（3）也是一个典型的利用图象解答的问题. 千万不能贪图简洁，这样会使我们失去深刻反思的余地. 变式题答案：3个.

（三）等价性：由于“数”与“形”的不完全等价的原因，化“数”为“形”的过程并不恒等，因范围的缩小导致结论的遗失.

问题4：（2013·南京期中）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0

当时，有一帮学生（数学学得还不错哦）就拿着图6，说：“这是一个错题.”“是题目错了（作差比较法早已证出）？还是图画错了（这帮小子又要讨论了）？”如果说出他们的错误点，那么他们肯定改得既快又准确. 但关键是要培养他们如何自己发现问题，培养他们良好的数学品质. 那我们不妨取一些满足题意的值，如a=1，x1=，x2=，则f（x）-x=x-x-，即f（x）=x2+x+……老师，我们忘记了讨论对称轴的位置了，在区间里面不行；右边也不行（至少有一个x2≥）；那只能是区间的左侧了. “是吗？那第（2）问的证明是不是太简单了（x0≤0，x1>0）.” 当a=1，x1=，x2=，则f（x）=x2-x+，若x1+x2<1，则b>0；若x1+x2=1，则b=0；若x1+x2>1，则b<0，噢！对称轴只要在x=x1的左侧都有可能. 还是老老实实作差比较吧.

（四）存在性：化“数”为“形”的过程中，没有对图象的存在性加以考虑，由于虚假图形的出现而导致错解. 所以，在运用“数形结合”的方法解题时，要仔细分析题意，以确保图象的存在性，以免出现无中生有的现象.

问题5：（2012·盐城高三摸底）已知函数f（x）=k2x+k（1-a2），x≥0，x2+（a2-4a）x+（3-a）2，x<0，其中a∈R. 若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，则实数k的取值范围是_________.

参考解析：由题知当x=0时，f（x）=k（1-a2）. 又对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，所以函数f（x）必须是连续函数，即在x=0附近的左、右两侧，其函数值相等. 于是（3-a）2=k（1-a2），k≠0，即

（k+1）a2-6a+9-k=0有实数解，所以Δ=62-4（k+1）（9-k）≥0，解得k≤0或k≥8. 参考答案：（-∞，0）∪[8，+∞）.

事实上，当x<0时，若二次函数f（x）=x2+（a2-4a）x+（3-a）2的对称轴x0=-<0，则对x1=x0，是不存在非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立的，故x0= -≥0，即0≤a≤4. 所以，原题等价于关于a的方程（k+1）a2-6a+9-k=0，k≠0在0≤a≤4有实数解.

从上面我们不难看出：“数形结合”思想方法的双刃（优越性与局限性），我们要正确拿捏，发挥其最大威力，成为现代意义之下的“将帅”. 客观世界也是动态变化的，解决问题的方法和手段往往不是一成不变的，特别在遇到障碍时，所采用的方法与手段也应该根据问题形式变化而不断地变化，才是我们应持有的态度. 数学是研究空间和数量关系的科学，少了数的严谨，研究只能停留在表面；少了形的直观，研究则抽象空洞，在解题过程中对二者随时根据需要进行转化、完美结合，以“形”显“数”，以“数”助“形”来解决问题，才能达到和谐统一.