一道奥数不等式的推广

俞谨 谢红燕

摘 要：本文探究的是一道2010年瑞士数学奥林匹克竞赛试题，它的求证及推广有一定的启发性，尤其该推广对证明有关不等式的有着重要的作用.

关键词：不等式；奥林匹克；启发性

一道2010年瑞士数学奥林匹克竞赛试题：

已知x，y，z>0，xyz=1，求证：++≥x+y+z.

《一道2010年瑞士数学奥林匹克不等式的证明》（苏立志）一文加以了简证，《一道竞赛题的两个加强》（侯典峰）一文又给出了两个加强，本文也给出一种简证并将对此题做进一步的思考.

证明：因为+z≥2（x+y-1），+x≥2（y+z-1），

+y≥2（z+x-1）. 又因为xyz=1，

所以++≥3（x+y+z）-6≥x+y+z.

推广1：已知xi>0，i=1，2，…，n，n≥3，xi=λn，

求证：≥xi.

证明：设S=xi，由于xi=λn，

又因为=-2（S-λ）+xi，

所以

=（S-λ）2-2n（S-λ）+S=.

因为·（S-3λ）（S-λ）≥0？圳·（S-3λ）（S-λ）+S≥S，

即≥S，

因此≥xi.

当n=3，λ=1时，此题为奥赛试题.

推广2：已知xi>0，i=1、2、…、n，n≥3，xi=λn，

求证：≥n3λ.

证明：设S=xi，由于xi=λn，则S≥nλ.

又因为=-2（S+λ）+xi，

所以=（S+λ）2-2n（S+λ）+S=+S≥n3λ.