引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题

胡建国

摘 要：在人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》中，只介绍了直线、圆的极坐标方程，没有介绍圆锥曲线的极坐标方程.实际上，对于圆锥曲线的焦半径或者焦点弦问题，引入极坐标，会大大简化计算过程. 本文通过几道例题来介绍这种方法以及分析这种方法的优势.

关键词：圆锥曲线；焦半径；极坐标系方程

高中数学教材通过几个例题，实际上给出了圆锥曲线的统一定义：与一个定点和一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹，当01时，轨迹是双曲线. 我们可以利用这个统一定义，得到圆锥曲线的极坐标方程.

以椭圆为例，介绍极坐标方程的推导过程.

如图1，以左焦点F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系.设点M（ρ，θ）是椭圆上任意一点，则=e，把左焦点到左准线的距离记为p，则=e，整理得：ρ=，此方程为椭圆的极坐标方程.

图1

例题1 已知椭圆C：+=1，过点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B和D，E，求AB+DE的最小值.

解法一：设直线AB的方程为x=ty-2，设点A（x1，y1），B（x2，y1），

由x=ty-2，+=1得（t2+2）y2-4ty-4=0，故y1+y2=，y1·y2=，

得AB=y1-y2=·=；

同理可得DE=，

所以AB+DE=+

=12≥12·=.

当且仅当t2+2=2t2+1，即t=±1时取到“=”号. 另外，当直线AB的方程为y=0时，AB=4，DE=2，此时，AB+DE=6. 综上，由<6，得AB+DE的最小值为.

解法二：以F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系，得到椭圆的极坐标方程为：ρ=.

设B（ρ，θ），θ∈[0，2π]，则

AB=AF1+BF1=+=，

DE=DF1+EF1=+=，

所以：AB+DE=+==≥=，即AB+DE的最小值为.

对比上述两种解法，我们可以发现，第一种解法不仅要分情况讨论，另外计算量也很大，尤其是求最值的部分需要较好的数学功底；第二种解法过程简洁，不需要分情况讨论，而且求最值的问题转化为三角函数的最值问题.显然，在椭圆的焦点弦问题中，引入极坐标能极大地提高解题效率.

例题2 已知C1：y2=4x，C2：+=1，过F（1，0）点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与C1相交于A，B，l2与C2相交于C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.

解：以F为极点，沿椭圆长轴方向为极轴，建立极坐标系. 由椭圆的直角坐标系方程+=1得到椭圆的极坐标方程为ρ=，则CD=CF+DF=+=. 由抛物线的直角坐标系方程y2=4x得到其极坐标方程为ρ=.

AB=BF+AF=+=

SACBD=AB·CD=··=≥8，所以四边形ACBD面积的取值范围是[8，+∞）.

例题3 试证明：过双曲线C：-=1的一个焦点F作两条相互垂直的弦分别交双曲线于AB和CD，则+=.

证明：以右焦点F2为极点，沿实轴方向为极轴，建立极坐标系，得到双曲线的极坐标方程为：ρ=，记t=-a，则AB=+=，

CD=+=+=，

+=+===，

所以，命题得证.