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由一道高考题谈数学直觉思维的培养

2014-04-29常国良

数学教学通讯·高中版 2014年11期
关键词:直觉思维猜想审美意识

常国良

摘  要:直觉具有先导性、自由性、灵活性、偶然性、不可靠性等特点,是创造能力及解题能力提高的重要思维方式,培养直觉思维需要扎实的基础、良好的审美意识以及大胆的猜想等等. 但是逻辑思维也较重要,它可以弥补直觉思维的不可靠性所带来的缺陷. 缺陷并不是显而易见的,它是学生直觉思维的误区,因此必须首先感知,方能弥补,而反思正是解决此问题的有效手段.

关键词:直觉思维;基础;审美意识;猜想;反思

法国科学家庞家莱曾说过:“没有直觉,年轻人在理解数学时便无从下手;他们不可能学会热爱它,他们从中看到的只是空洞的玩弄辞藻的争论;尤其是,没有直觉,他们永远也不会有应用数学的能力.” 笛卡儿受一只苍蝇在天花板上爬行的启发发明了解析几何,正是对数学的直接感悟;费尔马对数学的非凡的直觉能力和合情推理能力,给后人留下了那么多的“猜想”. 我们看这样一道高考题:

案例?摇 在正项等比数列{an}中,a5=,a6+a7=3,则满足a1+a2+a3+…+an>a1a2a3…an的最大正整数n的值为__________.(2013年江苏高考题)

分析:易求得an=2n-6,此等比数列单调递增且公比为2. 直觉提醒我们,当n<6时,an∈(0,1),数列{an}的前n项和增大,前n项积减小,左边永远大于右边;当n>6时,数列{an}的前n项和增大,前n项积也在增大,且积增大得快.

要a1+a2+…+an>a1a2…an,因为a1+a2+…+an>an,可先让an>a1a2…an,

解得1

通过直觉去认识此数列各项值的变化规律,既简化了运算,又提高了正确率. 在数学教学过程中如果能经常让学生思考,学生就会潜移默化地养成数学直觉,形成数学题感. 本文就数学教学中如何培养学生直觉思维能力谈点做法和体会.

扎实基础是产生直觉思维的源泉

直觉不是靠“机遇”,直觉的获得虽具有偶然性,但绝不是凭空臆想,而是以扎实的知识为基础. 若没有深厚的功底,是不会迸发出思维的火花的,就不会有“顿悟”的灵光乍现. 当我们思想高度集中的时候,会突然对某个问题产生一种灵感,进入豁然开朗的境界.

例1  已知曲线C:f(x)=x+(a>0),直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为A,B;再过点P作曲线C的切线,分别与直线l和y轴相交于点M,N,O是坐标原点. 若△ABP的面积为,则△OMN的面积为__________.

分析:本题设P为任意一点去做应为通性通法,是笔者所提倡的做法,虽然稍微麻烦一些,但是肯定能做好. 如我们有扎实的基础就会发现,本题有它的特殊之处,我们完全可以取曲线C:f(x)=x+(a>0)的极小值点(,2)作为P点,这就涉及双曲线的一个重要性质,这个性质虽然简单,但容易被忽视,即双曲线上任意一点到渐近线的距离之积为定值,最显著的例子就是反比例函数. 当然,我们也要会证明函数f(x)=x+(a>0)的图象是双曲线.

知识是在学习中不断积累的,迪瓦多内一语道破了直觉的产生过程:“我以为获得‘直觉的过程,必须经历一个纯形式表面理解的时期,然后逐步将理解提高、深化”,成功孕育于1%的灵感和99%的血汗中.

注重数学知识的类比、迁移

对某些数学问题, 若能联系一些形式相同的、结构类似的熟悉问题或常规结论, 通过迁移将会悟出解题的思路. 联想是直觉思维的一种常用思考方式,综合运用各种联想,抓住题目的本质,易于拓宽思路,获得意想不到的效果.

如已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,P是椭圆上异于M,N的任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为KPM,KPN时,那么KPM与KPN之积是与点P的位置无关的定值. 事实上,这一结论是由圆任意上一点和直径端点连线的斜率(斜率存在时)之积为定值得到的;又可以依靠直觉进行知识迁移到双曲线,得到类似的正确结论. 知识类比迁移让学生产生直觉和灵感,让他们从“学会”变为“会学”.

注重数学思想方法的渗透

从新教材的构成体系看,整个中学数学教材所涉及的数学知识点汇成数学结构系统的两条河流:一条是由具体的知识点构成的易于发现的明河流,它是构成中学数学教材的骨架;另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的暗河流,它是构成中学数学教材血脉的灵魂. 数学思想和方法的教育使数学教学真正变为“授之以渔,而非授之以鱼”.

例2  已知正数a,b,c满足5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则的取值范围是__________.

分析:本题涉及三个字母a,b,c,在三个不等式组下求比值的取值范围,直觉提醒我们可能会使用数形结合思想即用线性规划的方法求解. 思维层次较高的学生也会诱发直觉思维,观察条件结构的特点,用转化思想完全可以解决.

由5c-3a≤b≤4c-a?圯5c-3a≤4c-a?圯c≤2a?圯≤2,

再由5c-3a≤b≤4c-a?圯-3≤≤-1,可得的上限为7;再根据clnb≥a+clnc,不等式两边同时减去clna得clnb-clna≥a+clnc-clna,

所以cln≥a+cln?圯ln≥+ln,此时设=xx>. 我们只要求函数f(x)=x-lnx的最小值,显然求导后可得其最小值为1,所以得最小值为e. 本题的关键一步是不等式两边同时减去clna,而这正是向转化的必要步骤.

同类题:已知正数a,b,c满足3a+c≤2b≤4,则的取值范围是__________.

本题模仿了2012年江苏高考第14题,解决方法与上面几乎一样,也就是先通过不等式组得到a与c的大小关系,然后将b转化为a与c,得到一个或两个函数式,再求函数的最值或取值范围.

因此,对一类数学问题采用哪一种思维方法取决于思维能力的强弱,从问题的结构形式以及与条件的联系出发,就能培养学生的直觉思维能力,形成较高的数学素养.

数学之美是产生直觉思维的本质

直觉的产生是基于对研究对象整体的把握,美感和美的意识是数学直觉的本质. 数学中主要包括简洁美、和谐美、对称美、奇异美以及数学思想美、数学家的情感美,利用数学中的美学因素能帮助学生开阔解题思路,培养数学直觉思维.

例3  已知实数a,b分别满足a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,则a+b的值为______.

分析:初看这题是三次方程,要直接求根是不可能的,再比较这两个式子发现左边结构相同,体现了数学结构之美. 直觉提醒我们去考虑函数f(x)=x3-3x2+5x的性质,结合问题,可以发现去研究函数的单调性、对称性. 事实上f(x)的图象关于点(1,3)成中心对称,而等号右边的1和5的平均数恰好是3,很快得出答案.

在课堂教学中,引导学生发现美是提高学生审美能力的有效途径之一. 多角度、多层次地培养学生的直觉思维,就能开阔学生的解题思路. 审美能力越强,则数学直觉能力也越强.

大胆猜想是培养直觉思维的动力

猜想是由已知原理、事实,对未知现象及其规律所作做的一种假设性的命题. 猜想既是直觉思维的结果,又是直觉思维的方式. 因此猜想能力的训练既是培养学生的直觉推理能力, 也是培养学生数学直觉思维能力的直接有效的方法.

例4  设f ′(x)是函数f(x)在R上的导函数,对?坌x∈R,f(-x)+f(x)=x2,且?坌x∈[0,+∞),f ′(x)>x. 若f(2-a)-f(a)≥2-2a,则实数a的取值范围为_______.

分析:题目没有给出函数的具体解析式,意味着对满足条件的所有函数解集是相同的,由直觉发现函数f(x)=x2+x满足条件,代入即可得到a∈(-∞,1]. 进一步鼓励学生由导数的不等式在题目中的作用去猜想,想到不等关系和函数单调性有关,即构造函数g(x)=f(x)-x2. 当x≥0时,g ′(x)=f ′(x)-x≥0,且满足?坌x∈R,g(-x)=-g(x),利用这些性质可证g(x)在R上是增函数,得2-a≥a,即a∈(-∞,1].

教师给学生创造大胆猜想的机会,选择符合学生实际的问题去启发学生凭经验和直觉猜定理、猜证法、猜结论.介绍如“归纳、类比、问题极端化、构造”等猜想的方法,通过“执果索因”式的先猜后证,以及在证出结果后再分析反思如何缩减思维量,这样学生就会乐于思考,直觉思维就在思考中产生.

又如,已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且a与b的夹角的正切为-,b与c的夹角的正切为-,b=2,求a·c的值.

教师启发学生对式子a+b+c=0进行猜想,有的学生想到从一点出发的三个向量,建立平面直角坐标系,用解析法计算;有的学生想到三个向量首尾顺次连接构成三角形,问题转化为在三角形中已知两角一边先解这个三角形,再算a·c的值等等.

教师引发猜想的意境,可以提出“怎么发现这一定理的”、“从这一条件我们得到什么,还想到什么”诸如此类的问题,组织学生进行猜想、探索. 对于学生的大胆设想应给予充分肯定,对其合理成分及时给予鼓励,爱护、扶植学生的自发性直觉思维. 教师应及时因势利导,解除学生心中的疑惑,使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感.

不断反思,弥补直觉思维的“缺陷”

在数学解题中, 直觉固然不可或缺, 不过它也是一把双刃剑, 直觉思维中的错觉, “直把杭州当汴州”,对正确判断解题方向起误导作用. 此时,我们应养成学生的反思习惯,由此可以弥补学生的直觉思维“缺陷”.

例5  已知数列{an}是等比数列,且满足a1a2a3=27,a4-a3=m. 若数列{an}是唯一的,求m的值.

错解:由题设a4-a3=m,设数列{an}的公比为q,得3q2-3q=m,即3q2-3q-m=0(*).

因为数列{an}是唯一的,所以Δ=(-3)2+12m=0,解得m=-,代入(*)式,解得q=,又a2=3,所以{an}是唯一的等比数列,符合题意.?摇

分析:数列{an}是唯一是否等价于方程(*)有唯一解?不一定. 因为{an}是等比数列且a2确定,隐含公比q≠0,也就是等价于方程(*)在q∈(-∞,0)∪(0,+∞)上有唯一解. 变元是数学的特征,变元的范围历来是数学考查的热点,而直觉常常感知的是数学对象的表面范围,也就导致了范围的错觉. 正确解法如下:

因为数列{an}是唯一的,所以

若q=0,则m=0,检验知,当m=0时,q=1或0(舍去),满足题意;

若q≠0,则(-3)2+12 m=0,解得m= -,代入(*)式,解得q=,

又a2=3,所以{an}是唯一的等比数列,符合题意. 所以,m=0或- .

解题反思的目的是认识问题的深层次结构(即问题的本质),通过解题去学会和领悟那种解无限道题的数学机智.

斯图尔特曾经说过这样一句话,“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起,受控制的精神和富有灵感的逻辑”. 直觉无处不在,直觉为我们打开发现数学的创新大门.

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