数学史作为教学工具教与学的应用研究介绍

田国伟 沈源钦

摘  要：作为教学工具的数学史，在数学教学中并没有被普遍应用. 本文借助前人的研究成果，介绍教师和学生对课堂引入数学史的情感、态度和观念，从哲学观、学生角度、逻辑性、准备性等多个方面探讨了数学史在数学教与学中的益处、潜在问题及原因分析，从中获得数学史作为教学工具的教学结论和建议.

关键词：数学史;教学工具;应用研究;建议

数学史引进教学的益处与方式

数学史作为一种教学工具，在数学教学中起着非常重要的作用. 数学史融入数学教学，对提升数学学习兴趣、拓展学生思维、激发学生的探索热情具有极高的研究价值.国内外的数学教育工作者进行研究和倡导，国外学者对数学史在数学教学中的作用做了深入的研究.

Wilson & Chauvot（2000）列举了四点应用数学史的好处，“提高问题解决能力，为更好的理解奠定基础，帮助学生建立数学关系，强调数学和社会之间的相互作用”（Wilson & Chauvot，2000，第642页）. Bidwell（1993）承认数学史赋予数学人性化的能力. 他将数学教学比作一个小岛，这个小岛“毫无生机又为世人所知”，引入数学史“能够把学生从这个小岛拯救出来，送到开放、生动、充满激情与趣味的数学新大陆生活”.

他们提倡在数学教学中应用数学史，但不能为了“数学史”而“数学史”.Bidwell（1993）为我们在教学中应用数学史介绍了三种途径：第一，利用趣闻轶事，展示相关著名数学家的照片或者重要史实;其二，在授课过程中插入趣闻素材（在此，Bidwell指的是把史料穿插在授课过程中）;第三种方式就是准确地将数学史主题当做课程进展的一部分.他还强调，第三种方式尤其重要.

在国内，《普通高中数学课程标准（实验）》对开展数学史式的数学教学提出了具体的要求，“通过生动、丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件与重要成果，初步了解数学产生和发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学生学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神.” 数学史融入数学教学已成为数学教育研究的一个方向.

国内关于数学史引进教学的研究综述

目前，国内数学史与数学教学的融合研究总体上可分为两大类：

第一大类，数学史与数学教学融合的意义、现状、问题研究：

郭熙汉从教学目的、教学方法、思维方法三方面研究数学史与数学教学融合的意义，“从事数学教育的教师，若有意识地引用数学史材料，汲取数学史知识，则将有益于数学教育成为‘最高、最好的教育.”

康世刚和胡桂花对我国“数学史和中小学数学教育”的研究现状进行了分析和思考，他们发现：研究者不关注已有文献的阅读，重复性研究极多;研究方法缺乏科学性;研究缺少数学史家与一线数学教师的合作;研究对象缺乏对学生认知发展的关注.同时指出，应该区分“数学史”专题教学研究与数学史在日常课堂教学渗透研究;加强“数学史”教学的评价研究;开展实证性研究;关注数学文化和数学思想方法的研究视角;重视研究队伍的建设;同时要有国际视野.

罗新兵在《数学史融入数学教学研究若干思考》一文中指出：“数学史融入数学教学的研究需要关注三个主要课题：①如何评价数学史融入数学教学的教学案例及其教学效果;②是否为教师开展数学史融入数学教学创造了必要条件;③为了达到数学史融入数学教学的目标，应该做些什么.”

对这一大类的分析和讨论促使了数学史与数学教学的融合，从理论高度和实践层面对数学史融入数学教学进行反思，指明数学史融入数学教学的研究方向.？摇

第二大类主要围绕教学四要素（教师、学生、教学内容、教学目标）的数学史教学研究，又可细分为两小类：？摇

1. 教师数学史和数学文化知识的现状研究

“数学教学过程是学生在教师的指导下能动地建构自己的数学认知结构过程”，教师对数学史的了解、丰富程度直接影响着数学史作为教学工具在教学中的应用情况，影响着教师能否借助数学史激发学生学习兴趣和求知欲望，暴露解决问题的思路，解释解决问题的思想方法，从而建构学生良好的数学认知结构.

赵金波在《数学史融入高中数学教学的现状调查和对策研究》一文中，通过对114名不同年龄段的高中数学教师（本科学历84人，硕士学历30人）的调查发现：当前高中数学教师对于数学史知识的掌握并不完善，问卷中5道关于数学史常识的问题，正确率在70%以上的还不足一半，其中第5题的正确率在50%以下，问卷的第四题是关于勾股定理的，它最早出现在周髀算经中，依然有32人未做对，这说明部分老师对数学史中基础知识的了解仍有欠缺.

教师对数学史掌握的欠缺是数学史融入高中数学教学过程的重要困难之一.

2. 以教学内容和教学目标为对象的研究

数学教学不能为了数学史而数学史，而是将数学史和教材、课程标准有机地结合起来.这里需要解决“教什么”、“怎么教”、“达到何种目标”三个问题.

第一，关于“教什么”.历史发生原理表明，学生对数学概念的理解过程与数学概念的历史发展过程具有一定的相似性，因而对学生的教育必须符合历史的教育，需按照皮亚杰的认知发展理论，选取的内容符合学生的认知结构的发展.

因此数学史教学的内容不是数学通史，而是挖掘中学数学中各个知识点背后的历史，使学生体会数学的重要思想方法和发展轨迹，把握知识的内涵与本质.

第二，关于“怎么教”.数学课本是数学知识体系的凝练，特点是形式化，著名数学教育家弗赖登塔尔曾形象地指出：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来. 一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽.”

张奠宙先生指出：“数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条恢复为当初数学家发明创新时的火热思考. 只有经过思考，才能最后理解这份冰冷的美丽”.

第三，关于数学史教学应达到何种目标. 郭熙汉指明了方向，他认为数学史进入教学有益于数学教育成为“最高、最好的教育”. 日本学者米山国藏指出，“最高、最好的教育”应该是：“不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于脑际的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法以及着眼点，却随时随地发生作用，并使他们终生受益.”

综上所述，国内关于数学史与数学教学的研究主要集中在教学的意义、现状、存在问题、教师本身的数学文化知识以及数学史教学内容、方式、目标等方面，很少有人关注教师和学生的情感、态度和价值观. Paul Ernest（1988）和Man-Keung Siu（2007）对教学中引进数学史的教师信念和学生信念做了相关研究. 下文将介绍他们的研究成果.

数学史引进教学的应用研究

1. 研究目的

调查学生对数学史进入数学教学的情感、态度、观念.

2. 研究设计者

美国蒙大拿大学Nick Haverhals和Matt Roscoe.

3. 研究对象

蒙大拿大学数学专业的16名本科生（9男，7女），他们完成了微积分的一系列课程.

4. 研究方法

访谈过程中有声记录学生的回答，加以分析、转录形成文字材料.

5. 实验材料

研究者根据研究目的设计了两个文件，文件一是“领进门”引物，文件二是“课堂”活动. “领进门”引物是对墨卡托投影产生的背景、需求、原理和意义的描述，目的在于引起学生继续探究墨卡托投影的兴趣，为文件二“课堂”活动的进行打下基础.

文件二注重引导学生探索割线积分的历史发现过程，经历三个步骤：一、推断纬度的水平缩放比例;二、描述对垂直保形缩放起决定作用的“机械求积法”;三、比较水平缩放比例与垂直保形缩放的精确度.

6. 实验研究过程

文件二在文件一实施一周后在课堂上进行，限时两个小时. 16名学生随机分成两个组参与试验，结束后，收起文件二. 一周后，两个组中各选四名学生进行访谈，并对一个组的四名做关于这项教学活动的情感反应调查，他们被问及以下几个问题：

（1）在教学活动中学到了什么？

（2）与典型的数学课有怎样的不同之处？

（3）蒙大拿大学微积分教材关于割线积分的介绍与上周呈现的割线积分的历史陈述有怎样的区别？

（4）是否改变了你看待数学发现的方式？

（5）是否改变了你数学学习的方式？

（6）置于历史背景中的割线积分是否促使你完成割线积分的传统证明？

（7）数学史会使数学学习更有意义吗？怎样的意义？

同时展示给另一组四名学生有误的墨卡托投影物理模型，目的在于调查他们能否利用教学活动中获得知识对这个物理模型提出反证.

有声记录学生的回答，并转录分析学生能否在这样的活动中获得知识.

7. 研究结果与分析

通过访谈和调查，其中四名学生的情感反应如下：

（1）学生1在对问题4的评述中提到，16世纪的航海家应受到更多的尊重，他们在没有现代技术的情况下，发现了割线积分原理;他这样回答问题3，与课本中的积分编排不同，重现了割线积分的发现过程，对思考方式很有帮助.

（2）学生2对问题5有这样的评述：通常解决一个问题，得到一个答案，从不去想问题背后的意义;重现割线积分的发现过程让我明白，即使最基础的知识也有适用它的地方.

（3）学生3认为数学史的应用对数学学习很有意义，数学史能告诉我们数学知识在现实中的应用. 这一点也得到了其他四个学生的认同.

（4）学生4认为，数学史帮助他理清了思路，觉得前人的工作是一件了不起的事情.

从以上访谈可以看出学生对数学史引进数学教学的情感态度，学生乐在其中，对前人的工作敬佩不已，受到数学史的启迪而对数学感兴趣，在论及历史背景时，数学史被提及到更加重要的位置.

关于教师对数学史教学信念的研究与分析

1. 数学史在数学课堂中匮乏的16种不利因素

数学史在数学教学中的意义得到了教师和学生普遍的认同，但数学史在课堂中很少出现.究其原因，通过研究分析，Man-Keung Siu（2007）总结了16种不利因素.这些不利因素涉及教师、学生对数学史的教学信念，按照哲学类、学生类、逻辑类、准备类和其他类分成5组进行讨论和分析. 分类如下：

2. 数学史在数学课堂中匮乏的不利因素分析

（1）哲学类

教师常以数学信念以及如何教来回答“为什么不在课堂运用数学史？”.

通过陈述（1），教师表露出的信念为，数学史的重要性次于课程中其他内容.在有限时间的课堂教学中，课程中的其他内容被给予更高的优先权.

（2）是传统数学课对数学史的一种抵制. 持这种观点的教师认为，数学是从其他领域严格分化出来并迅速高度专业化的一门学科.

把数学进步与“困难问题程序化”等同是数学哲学的固定表达，持有这种观点的教师设法避免学科与历史交互发展的复杂性，支持常规性工作、算术和程序记忆.

Ernest（1988）标识的三个数学哲学系统含有解决数学本质、数学学的本质和数学教的本质的部分，为我们分析上述观点提供了最直接、最简洁的支持.

工具主义认为数学是“事实、规则和技能的积累”（Ernest，1988，P2），是一些不相关事实和规则的有用收集. 教师是知识的拥有者. 教与学的本质是，教师严格按照教材传授知识，学生被动地接受知识.

柏拉图主义把数学看成一个“静态的永恒不变的知识整体”（Ernest，1988，P2），一个“固有世界”，是独立存在于人类主体意识之外的“通用语言”. 教师以讲解的方式向学生介绍系统的数学知识，促进学生对数学的理解. 学生在习得知识的同时，习得数学学习的方式. 变式问题的陈述作为判断学生知识掌握的依据.

问题解决主义视数学为“动态的、持续扩大的人类创造和发明的领域，”（Ernest，1988，P2），以一种开放的态度接受辩驳和修正. 在教学活动中，教师以促进者的身份负责问题的自信陈述，学生以问题解决的方式构建数学知识.问题提出与解决作为评价学生知识习得的依据.

把上述因素置于Ernest的数学哲学系统中，发现这些因素与工具主义观点紧密一致. 在教学活动中工具主义拒绝给学生提供“建构”知识的机会. （1）似乎指教师讲解知识的紧迫性;（2）是因为没有促进特殊技能的形成;工具主义观在（9）中尤为明显，“数学进步”标识为使“难题程序化”，而“难题程序化”呈现了一个数学与教学程序哲学.

很明显，持有（1）（2）（9）观点的教师把教学与建构活动独立开来，这与工具主义观相符. 问题解决主义认为教学与建构活动应该相互融合，这符合实际教学理念.

（2）学生类

数学信念决定教学行为，进而影响到学生对数学史在教学中的信念.

学生类不利因素的前三个认为，数学史对学生的学习动机产生微不足道的影响. 不喜欢甚至“讨厌”数学史的学生排斥在课堂教学中应用数学史. 引入数学史被视为浪费教师宝贵的备课和上课时间. 调查分析发现，学生对数学史的引入很感兴趣（上文有详述）.

（8）认为学生缺乏感知和理解教学主题的文化知识. 教师最懂什么对学生最有益处，文中给出了不同的观点，认为学生有足够的文化知识去同化新知识.

（3）逻辑类

逻辑类不利因素，会阻碍教学中倾向于应用数学史的教师.

持观点（3）的教师认为，数学史在考试时不会出现，没必要在教学中引入;只有极少的数学史料对学习有意义，目的是让学生了解这部分历史.

关于（4），部分专家认为数学史的教学应用策略制定问题评估和教学设计，是可以指导学生数学学习和提高数学成绩的. 这可以在学生学习特定数学思想（（Moreno-Armella & Waldegg，1991;Jankvist，2009））和识别数学概念证明的困难上得以体现（（Bell，1976;Almeida，2003））.

（13）和（14）认为，数学史料的处理存在困难. 其一是引入数学家的其他解法会让学生困惑不解，它们往往不是最通俗易解的;其二是对文献中术语和注解的理解.

（4）准备类

（14）还提出了一个完全不同的问题. 谁应该为学生阅读史料时遇到的困难负责？这个问题与准备类不利因素紧密相关.

对于（10），教师有两点担心：一是数学史料不足;二是对史料的选择. 原文认为，史料不是教学的追求，借助史料完成教学任务才是目标，另外教师要有整理、加工仅有的史料为学生准备教学活动的能力.

（11）表明教师困扰的是如何在教学中运用数学史，他们缺乏相关技能. 专家认为，教师乐于借助数学史调动学生学习的积极性完成教学.

（12）和（11）有一定的相关性，数学史培训匮乏导致无法判断史料的准确性. 事实上，教师无须担心这点，大部分与教学活动相关的史料均来自专业的期刊、杂志或书籍，给史料的准确性提供了保障，这也表明教师无须对学生阅读史料时遇到的困难负责.

（5）其他类

对于（15），部分教师认为，数学史为数学发展过程提供一个小视野，不同文化间的数学交流可打破这种视野，告诉大家数学文化的源头并不唯一.

对于（16），部分教师认为没有提供可信服的证据. 但有一点可以肯定，学生乐意接受数学史在数学教学中的使用.

研究结论和建议

1. 结论

部分教师根据Siu的16种不利因素，构建教学实验框架，详细分析教师和学生的情感、态度和观念，得到以下重要结论：

第一，关于数学知识和数学教育的本质，哲学类不利因素与工具主义主观相一致.工具主义注重数学计算能力，否认数学理解力和数学建构. 因此，工具主义数学观饱受批评. 相反，历史方法的引入把问题解决放在数学教学的核心地位，激发学生的灵感、动机和洞察力，使学生感觉到学习数学的必要性.

第二，研究推翻了学生角度类不利因素，批判了教师持有的错误学生观. 在数学史参与的数学建构活动中，学生的反映是积极的，效果是明显的.

第三，逻辑类不利因素是可以解决的. 创造性地运用史料给“测试”设问，赋予学生丰富、有用的数学理解提高数学成绩，缜密周到的课堂展示解决学生阅读原始文献时遇到的难题.

第四，对数学史料的获得和准确性的担心是多余的. 用于教学活动的史料资源是丰富的，信誉度高的期刊、杂志和书籍确保了历史性文献的准确性. 教师不必成为专业的数学史家.

第五，数学教学中公平的历史主题可能会导致相反的结果. “受历史教育”的数学生意识到巨大的文化和民族差异，他们的求知欲望会被激起，这反而利于研究主题的开展.

第六，经验验证数学史对教学的意义是没有必要的，但有一点是可以肯定的，学生对数学史抱有极大的兴趣和热情，这是数学有意义学习的前提条件.

2. 建议

（1）转变教师数学观. 调查发现，大部分数学教师持工具主义和柏拉图主义数学观. 教师认识到数学是事实、规则和技能的积累的同时，还要理解概念本质，学会问题解决;教师不只是知识的拥有者、讲解者，更是知识学习的促进，从而把数学观提到问题解决主义的高度.

（2）转变教师学生观.研究发现，教师站在自己的角度考虑学生的想法，剥夺了学生对数学史的主观看法，否定了学生的兴趣和能力. 研究还表明，学生有足够的数学文化知识去同化数学史在数学教学中的应用，教师应相信自己的学生. 学生正循着几百年前数学家的足迹来认知数学.

（3）重视史料的选取.数学史融入数学教学，选择合适的史料是教学设计首要解决的问题.可以看到，史料的选择应满足以下几个条件：①易转化成教学背景;②再现知识的发现过程;③调动学生学习兴趣.

（4）重视教师数学史知识的培训和高等师范院校对数学史课程的开设. 根绝我国数学教师对数学史知识的匮乏和数学史作为教学工具可引起学生学习兴趣、提高教学效率等作用的矛盾性，有必要补充数学教师的数学史知识，进一步解决二者的矛盾性.