用已知求未知

刘正权

一、含参不等式的解法

1.分类讨论

如果想要解不等式ax2-2（a+1）x+4>0，首先需要讨论x2项的系数，看它是不是等于0，如果a=0，那么原不等式就可以被写成-2x+4>0，解这个不等式可以得到x<2；如果a≠0，此不等式为二次不等式，把这个不等式整理之后可以得到（x-2）（ax-2）>0，这个不等式对应的方程的两个根为2和21a，紧接着就要对a进行讨论.在这道题目中参数有两方面的影响，一方面参数的值能够决定不等式的类型，再者参数的值能够影响到不等式解的大小，所以必须进行分类讨论，但在解题的过程中需要注意的一点就是，要通过对参数的讨论去确定不等式的解，而不是要通过不等式的解去看如何对参数进行讨论.

2.变换主元

已知一个不等式2x-1>m（x2-1），如果m满足|m|≤2，那么这个不等式恒成立，试求x的范围.已知m的取值范围，想要求的是x的取值范围，这时就可以采用变换主元的方法，把这个不等式变形之后得到m（x2-1）-（2x-1）<0，这个不等式在|m|≤2的时候是恒成立的.下面构造一个自变量为m的函数.令f（m）=m（x2-1）-（2x-1），在|m|≤2即-2≤m≤2时，函数的值是小于0的，也就是说f（-2）小于0，f（2）也小于0，通过这两个条件可以解得x的范围.

3.数形结合

如果不等式|3x+6|+1≥ax是恒成立的话，试求a的取值范围.可以把这个不等式的两端看成是两个函数，f（x）=|3x+6|+1，g（x）=ax，可以在同一个坐标系中把这两个函数的图像画出来，根据图像可以知道直线的斜率只有在一个范围内才可以使不等式恒成立.利用数形结合的方法处理不等式的问题是非常直观的，但是如果想要得到准确的结果首先需要确保所画的函数的图像是正确的.

二、利用导数解决含参问题

1.利用导数求含参函数的单调性

利用导数去求函数的单调区间，事实上只需要解f′（x）>0，f′（x）<0时x的值.首先必须想办法求出f′（x），此时如果f′（x）可以实现因式分解的话，就先把它进行因式分解，然后根据两根的大小去对函数的单调性进行判断，如果不能进行因式分解，就需要进行分类讨论了.比如已知一个函数是f（x）=ln2x-ax，试求这个函数的单调区间.首先对这个函数求导，f′（x）=11x-a（x>0）， 因为x>0，所以11x>0，当a≤0时，f′（x）>0，也就是说当x>0时，函数f（x）是单调递增的.如果a>0，首先令f′（x）=0求出相应的x值，x=11a，如果00，此时函数f（x）是单调递增的.如果x>11a，那么f′（x）<0，此时函数f（x）是单调递减的.

2.利用导数研究含参函数的最（极）值

在利用导数对含参函数的最（极）值进行研究的过程中，分类讨论思想是经常需要用到的.比如，求函数f（x）=ln2x-ax（a>0）在区间[1，2]内的最小值.首先对这个函数求导，f′（x）=11x-a（x>0），令f′（x）=0得x=11a，当11a≤1时得到a≥1，此时f′（x）<0，也就是说函数在区间[1，2]内是单调递减的，所以函数f（x）在区间[1，2]内的最小值为f（2）=ln4-2a，当11a≥2时，得到a≤112，此时f′（x）>0，也就是说函数在区间[1，2]内是单调递增的，所以函数f（x）在区间[1，2]内的最小值为f（1）=ln2-a.当1<11a<2时，得到1120，函数在区间[1，11a]内是单调递增的，如果11a≤x<2，那么f′（x）<0，函数在区间[11a，2]内是单调递减的，同理可求得函数的最值.

3.利用导数研究含参函数的恒成立问题

如果所研究的范围问题具有函数背景，首先需要根据已知的条件把所要求的变量跟某个已知变量建立函数关系.比如，已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t），令f（x）=a·b，函数f（x）在区间（-1，1）的范围内是增函数，试求t的范围.根据向量的数量积公式可以得到f（x）的表达式f（x）=-x3+x2+tx+t，对这个函数求导可以得到f′（x）=-3x2+2x+t，由题意可以知道函数f（x）在区间（-1，1）的范围内是增函数，也就是说f′（x）>0变形得2x2-2x≤t，接下来就需要解这个不等式，需要让这个不等式在区间（-1，1]内恒成立.

（责任编辑金铃）