开启思维天窗的数学课堂让中考更精彩

齐永利

[摘 要] 初中数学知识有机联系、纵横交错，解题思路灵活多变，既要及时引导点拨，拓宽学生的解题思路；又要解题后认真总结，摸索规律，做到举一反三.

[关键词] 一题多问；一题多变；一题多解；多题归一

数学是思维的体操. 初中数学知识有机联系、纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，即使一次性解题合理正确，也未必是最优的解法. 这要求我们在课堂教学中既要注意一题多解、一题多变、 一题多问，又要注意多题归一；既要及时引导点拨，鼓励学生进一步探索不同的解法，拓宽学生的解题思路，使学生在解题中运用知识、权衡解法优劣，更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更趋优化，又要解题后认真总结，摸索规律，举一反三. 这样，对提高我们的解题能力大有帮助. 现举例加以说明.

■ 案例呈现

冀教版九年级（上）《同步练习册》第115页有这么一道题目：

例1 如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是底边BC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，BG⊥CD于点G，求证：PE+PF=BG.

分析 （如图2所示）过点P作PH⊥BG，把BG分成两段，根据矩形得到PF=HG，再证明△BPH和△PBE全等得到PE=BH，所以PE+PF=BG.

■

证明 过点P作PH⊥BG，垂足为H，

因为BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，所以∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°.

所以四边形PHGF是矩形，所以PF=HG，PH∥CD. 所以∠BPH=∠C.

在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，

所以∠PBE=∠BPH.

因为∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，

所以△PBE≌△BPH（AAS）.

所以PE+PF=BH+HG=BG.

■ 一题多问，层层递进

例2 在例1前提下，若AD=4，BC=6，AB=2，求BG的长.

解答 如图3所示，过点D作DN∥AB交BC于点N，则ABND是平行四边形，DN=AB=DC=2.

因为BC=6，AD=4，所以NC=2.

所以△DNC是等边三角形，∠C=60°. 所以BG=BC·sin60°=6×■=3■.

■

■ 一题多变，发散思维

例3 （变式1）若将例1中的等腰梯形ABCD改为等腰三角形ABC（如图4），其中，AB=AC，P为底边BC上任一点，过点P作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交AC于点F，则PE，PF与AB之间具有怎样的关系？请写出你的猜想，并说明理由.

解答 关系为：PE+PF=AB.

理由：因为PE∥AC，PF∥AB，所以∠EBP=∠C，四边形AEPF是平行四边形. 所以PF=AE.

又△ABC是等腰三角形，所以∠EPB=∠C=∠B.

所以PE=BE，所以PE+PF=BE+AE=AB.

例4 （变式2）如图5所示，在例1中，若点P在BC的延长线上，则例1中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PE，PF，BG之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，并证明.

■

分析 如图6所示，首先过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，易证得四边形BGFH是平行四边形，即可得BG=FH，又可证得△PBE≌△PBH，即可得PH=PE，继而证得PE=PF+BG.

■

解答 不成立，关系为：PE=PF+BG. 过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，因为PF⊥CD，BG⊥CD，∠PBH=∠DCB，所以BG∥FH，PH⊥BH.

所以四边形BGFH是平行四边形，∠H=90°. 所以FH=BG.

因为等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，所以∠ABC=∠DCB.

所以∠ABC=∠PBH.

因为PE⊥AB，所以∠PEB=∠H=90°.

在△PBE和△PBH中，

∠PEB=∠H，∠PBE=∠PBHPB=PB，，

所以△PBE≌△PBH（AAS）. 所以PH=PE. 所以PE=PF+FH=PF+BG.

注意 本题还可延长BA，CD，设相交于点M，并连结MP. 利用S△MBP=S△MBC+S△MCP，也可求得PE=PF+BG.

■ 一题多解 殊途同归

例5 若将例3（1）再次变形，即如图7所示，在△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B，C重合），CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，求证：CD=PE+PF.

■

分析1 过点P作PG⊥CD于点G（如图8），则可证得四边形PEDG是矩形，也可证得△PCG≌△CPF，从而得到PE=DG，PF=CG，因此得CD=PE+PF.

证明 过点P作PG⊥CD于点G，因为CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，所以四边形PEDG是矩形. 所以PE=DG. 易证△PCG≌△CPF，所以PF=CG. 所以CD=PE+PF.

■

分析2 连结PA（如图9），则S△ABC=S△PAB+S△PAC，再由三角形的面积公式便可证得CD=PE+PF.

证明 连结PA，因为CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，

所以S△ABC=■AB×CD，S△PAB=■AB×PE，S△PAC=■AC×PF.

因为S△ABC=S△PAB+S△PAC ，

所以■AB×CD=■AB×PE+■AC×PF.

因为AB=AC，所以■AB×CD=■·AB×PE+■AB×PF.

所以CD=PE+PF.

■ 多题归一，悟中升华

1. 解决线段的和差问题，常采用“截长补短法”. 所谓截长补短法，就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.

2. “面积法”是证明线段相等的常用方法. 所谓面积法，就是对同一个几何图形的面积，采用不同的方式或从不同角度去分析、计算，从而得到 一个面积关系式，化简这个面积关系式或对面积关系式进行讨论，以求得结论.

■ 真题回放？摇 牛刀小试：

例6 （河北中考）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G. 一等腰直角三角尺按如图10所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B.

（1）在图10中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想.

■

（2）当三角尺沿AC方向平移到图11所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E，此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想.

■

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图12所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）？

■

解析 （1）BF=CG. 易证明△ABF≌△ACG（AAS），所以BF=CG.

（2）DE+DF=CG.

截长补短法：如图13所示，过点D作DH⊥CG于点H，因为DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，所以四边形EDHG为矩形.

■

所以DE=HG，DH∥BG.

所以∠GBC=∠HDC.

因为AB=AC，所以∠FCD=∠GBC=∠HDC.

又因为∠F=∠DHC=90°，CD=DC.

所以△FDC≌△HCD（AAS）. 所以DF=CH.

所以GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG.

面积等法：如图14所示，连结AD，

显然S△ABD+S△ADC=S△ABC ，

而S△ABD=■AB×DE，S△ADC■=■AC×DF，S△ABC=■■AB×CG，

所以■AB×DE+■AC×DF=■AB×CG.

又因为△ABC是等腰三角形，所以AB=AC，因此DE+DF=CG.

（3）仍然成立.

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“真实有效的课堂教学往往是不确定的，可以预测的，却是无法规定的”，这就是动态的自然生成. 所以，在预设中体现教师的匠心，在生成中展现师生智慧互动的火花，开启思维的天窗，既有助于总结方法，发现方法，使知识升华，还能使学生的认识不断深入，且有助于学生优良思维品质的形成，克服题海战术. 总之，课堂在预设与生成的融合中焕发出生命活力，使我们在课堂上生成更多的精彩，使我们在中考考场上出现更多的纷呈.