让学生在亲历探索中绽放智慧火花

解永良

[摘 要] 笔者认为新课程目标对我们的学生提出了新的要求，明确了要让学生在亲历数学活动过程中获得关于数学活动的个性化经验. 时至今日，尽管新课程标准已实施多年，但笔者在参加教研活动中经常看到一线教师就如何让学生在经历数学活动中生成数学的问题普遍存在“穿新鞋走老路”的现象，本文结合一堂“方差”公开课，谈一些思考.

[关键词] 学生；亲历；探索；过程

■ 课堂实录

环节一：创设情境，引出问题

师：班内周丽和程洋是跳绳高手，在体育课上做1分钟跳绳运动，他们俩的五次成绩记录如下，单位（个）：

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请同学们分析两人的跳绳成绩情况，如果要推荐一位同学参加学校的跳绳比赛，你认为选谁？

生1：选周丽！虽然程洋和周丽五次跳绳的平均成绩一样，但是周丽的最好成绩是一分钟185个，我认为周丽的成绩更好.

生2：选程洋！我认为尽管程洋和周丽五次跳绳的平均成绩一样，但程洋成绩稳定，因为他的五次成绩中最好的一次是174，最差的一次是167，极差为7；周丽最好的一次是185，最差的一次是162，极差为23，所以周丽成绩的稳定性较差.

师：现在有两种观点，请同学们讨论一下，你同意选谁？

教师给出折线图（图1），帮助学生思考.

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学生经过一番讨论，最后达成共识：程洋的成绩比较稳定，五次成绩大部分都集中在170附近，说明程洋的成绩离散程度比较小！而周丽的成绩极差比较大，五次成绩的离散程度比较大.

此时班上一位成绩较好的学生举手要求发言.

生3：我认为极差大不能说明一组数据的离散程度大！

师：生3有新的观点，非常好！那么，一组数据的极差究竟能否说明其离散程度的大小呢？请大家思考、讨论.

评注1？摇 用班上两名同学的5次跳绳成绩作为原始数据让学生探讨，从不同角度评价两人的情况，让学生觉得数学离他们的生活很近，这样的设计能让全体学生都参与进来，同时还复习了前面的平均数、极差、统计图等知识，对于生3的观点，班里有的学生认为极差可以说明一组数据的离散程度，也有学生认为极差不能够完全刻画一组数据的离散程度，教师巡视并参与学生的讨论.

环节二：问题解决，生成新知

师：同学们思考、讨论得非常好，下面请大家交流发言.

生4：极差大可以说明一组数据的离散程度大，周丽的五个成绩数据就是一个例子.

生5：极差不能够完全刻画一组数据的离散程度，如下面两组数据：

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这两组数据的平均数均为15，甲组数据的极差为10，乙组数据的极差也是10，极差相同，但甲、乙两组数据的离散程度显然不同，这说明极差不能够完全刻画一组数据的离散程度.

师：生5讲得非常好，这位同学找出的这个例子很有水平，它恰好能说明极差不能够很好地反映一组数据的离散程度. 那我们能否找到一个“量”来刻画一组数据的离散程度呢？请大家再看看生5的例子！

评注2 到这里，教师提出“能否找到一个‘量来刻画一组数据的离散程度呢”，充分利用已创设的问题情境提出相应的学习要求，这符合学生的认知规律，符合思维的最近发展区，为学生生成新知铺路、架桥.

（学生们看了生5的例子后在下面窃窃私语，认为甲组数据的极差是10，比较“稳定”， 乙组数据虽然极差也是10，但不够稳定）

师：刚才我听到有学生在说甲组数据比乙组数据 “稳定”，能否请一位同学来解释一下你们的想法？

生6：因为甲组数据的四个数与平均数的差分别为-5，0，0， 5，乙组数据的四个数与平均数的差分别为-5，-1，1，5，所以我认为甲组数据比较“稳定”.

师：能否用一个量来刻画其稳定性？请同学们思考讨论，并自由发言！

生7：用四个数与平均数的差的和来刻画.

生8：（立即反驳）简单相加肯定不可以！因为-5，0， 0，5的和为0；-5，-1， 1，5的和也为0，两个都是0，怎能区分出两组数据的离散程度？

生9：计算每个数据与平均数的差的绝对值的和！如甲组数据的四个数与平均数的差的绝对值之和为10，乙组数据的四个数与平均数的差的绝对值之和为12，12>10，所以甲组数据比乙组数据“稳定”.

生10：也可以计算每个数据与平均数的差的平方和！如甲组数据的四个数与平均数的差的平方和为50，乙组数据的四个数与平均数的差的平方和为52，52>50，所以甲组数据比乙组数据“稳定”.

师：非常棒！现在出现了计算一组数据离散程度的两种方法，这两种算法都有道理，老师现在将甲、乙两组数据后各加两个数变成如下两组数：

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用刚才两位同学介绍的方法分别计算一下，看看丙组和丁组哪一组的离散程度较大.

生11：用生9的办法计算，丙组数据的六个数与平均数的差的绝对值之和为14，丁组数据的六个数与平均数的差的绝对值之和也是14，说明现在两组数据是一样“稳定”的.

生12：用生10的方法计算，丙组数据的六个数与平均数的差的平方和为58，丁组数据的六个数与平均数的差的平方和为54，58>54，说明丁组比丙组“稳定”.

请同学们分析一下他们的计算结果.

生13：这说明生9的方法刻画一组数据的“灵敏度”不高，这个方法对于丙、丁两组数据就“失效”了！而生10的方法，效果更好！

师：很好！生10的方法能够区分丙、丁两组数据的离散程度了！现在老师在丙组数据中再加两个数15，15，变成戊组，即10，15，15，20，13，17，15，15. 按生10的办法再算一下戊、丁两组数据的离散程度，你能发现什么？请大家思考、讨论.

（此时班级气氛活跃，学生完全进入一种不愤不启、不悱不发的状态，很多学生在讨论中认为生10的算法不公平，因为戊组有8个数，而丁组只有6个数）

师：同学们在讨论中认为生10的算法对戊组不公平，那该怎样计算呢？

生14：应该计算每个数据与平均数的差的平方和的平均数，这样戊组数据的这个“量”为■=■，丁组数据的这个“量”为■=9，9>■，所以戊组数据比丁组数据离散程度小.

师；非常好！同学们同意生14的观点吗？请同学们归纳一下生14的计算过程.

（学生思考、讨论、归纳以上探索过程，得出“先平均，再作差、然后平方、最后再平均”的计算公式）

师：在一组数据x■，x■，…，x■中，各数据与它们的平均数■的差的平方分别是（x■-■）2，（x■-■）2，…，（x■-■）2，我们用它们的平均数，即用s2=■[（x■-■）2+（x■-■）2+…+（x■-■）2]来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作s2.

我们也用方差的算术平方根，即s=■来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作s.

评注3？摇 在数学课上我们应该让学生学什么？应该让学生在数学活动中，借助自己的理解能力，形成自己个性化的数学知识.这种知识才是学生今后用得上的知识，才是学生思考问题的原材料，探索新知识的“脚手架”.然而，无论是书本知识还是教师讲的知识，都不是真正意义上的学生个性化的数学知识，教师进行数学教学的目的就是要促进学生个性化数学知识的形成，如果教师将自己的个性化数学知识直接告诉学生，自然就剥夺了学生个性化数学知识的自主生成机会，学生就无法形成自身应有的数学知识网，学生的数学能力也就无法提升. 本课中让学生从探寻到“与平均数差的绝对值的和”“与平均数差的平方的和”，一直到找到“与平均数差的平方的和的平均”，就是让学生在自己的头脑中逐步地、有效地生成方差的概念，形成学生个性化的数学知识.

环节三：应用新知，解决问题

下面请同学们再算一下程洋和周丽的方差或标准差，看看我们的分析是否合理.

………

环节四：归纳小结，拓展升华

师：通过本节课的学习，请你来谈谈自己的收获吧！

生15：通过今天的学习，我们学会了要分析一组数据的离散程度可用方差或者标准差，极差只能反映一组数据的变化范围.

生16：今天老师通过一系列问题让我们经历了一个比较完整的方差及标准差公式的探寻过程，使我们完全清楚了为什么用方差或标准差来刻画一组数据的离散程度是合理的.

师：非常好！同学们经历了讨论、探究、交流等过程来获取知识，这是一种学习新知识的重要方法，希望同学们能掌握与运用.

评注4？摇 学生完成了一节课的学习后应由谁来反思总结，结论是显然的.事实上，课堂小结是学生学习的一个重要的内化过程，在这个过程中教师要仔细倾听学生的发言，留意学生的学习情况反馈，及时进行点评，帮助学生有效地“维新”知识网络.

■ 课后思考

笔者以“极差”——学生的最近发展区为契点，在情境的安排和使用上做了精心选择，由问题的发现引出思考，借以培养学生实践、探索、合作的能力.学生的学习热情高涨，充分激发了探究学习的积极性. 《人民教育》曾报道北京小学数学特级教师吴正宪将一帮数学成绩很差的学生的学习兴趣成功激发的事迹，其办法之一是课堂上老师在黑板上挂满了“琳琅满目”的美妙图形，通过巧妙设问，在生活中、实践中让学生实实在在地体验数学.而现在的课堂里老师讲得多，学生活动少，课堂上的活动难以与学生产生共鸣，久而久之，学生思维的依赖性强、独创性弱，教学效果难免欠佳. 其实，学生对数学的歪曲理解、模糊认识正是没有用心经历数学活动. 笔者以为，数学经历需要以亲历实践为支撑，以内化动力、发展能力为目的.

《初中数学课程标准》明确指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验. 学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者. ”随着新的数学课程标准的实施，新课程的理念在我们心中也逐步扎下了根. 本文介绍的“方差”一课就是通过几个“递进”的“连环”问题，以“探究、交流、讨论”等活动方式，让学生经历自主合作、解决问题、体会和感悟知识形成的过程，对基本知识、技能、思想和方法能真正理解和掌握，并获得真切的数学活动经验. 笔者认为，本课是体现新课程理念的一种课堂教学模式，符合数学新课程的核心理念，能较好地引导学生经历探索活动过程，以获得情感体验、生成知识、掌握解决问题的方法.

学生学习是认知网络的生成和维新. 研究表明，学生有效学习的最终结果必然是在自己的头脑里生成富有成效的“个性化认知结构”，这个结构具有稳定性、清晰性、可利用性. 大量的题型复制、繁难的习题求解演示和解题术的记忆与重复等活动并不能帮助这三种特征的获得. 本课关注的是学生参与学习活动的“质量”（深层次参与），而不是追求讲解内容的数量. 外表看比较费时，一节课只研究一个问题，但教学效果特别好，学生收获的是思想方法，是情感体验，是个性发展. 学生会学、乐学，对数学知识理解深刻，知识迁移能力强. 一位著名的科学家曾经说过：“学校教给学生什么样的知识最有价值？那就是学生离开学校许多年之后，还留在学生大脑中的那一部分东西. ”而学生探究能力的形成不会随着时间的流逝而消失，可谓终身受用，因此，在教学中，作为教师，在新课程教学理念的指导下，应多关注学生参与学习活动的过程和方法，激发和爱护学生的热情，并给予学生足够的时空，这样，学生的学习能力定能得到大幅度提高.

本堂课采用模拟数学科学探究的方式，在教学中促使学生对知识的探索，并发现数学思想、方法、规律和过程.课堂内虽然不能再现真实的数学理论的历史发展过程，但是将人类历史文化背景赋予新的与之相对应的学生学习的文化背景，在教学中就可以使学生体验到知识生成的构建过程.

用模拟数学科学探究的方式上课在实践中有其特有的优势，能极大地激发学生的学习热情. 教师在教学中的作用是“精心设计活动问题，精心创设活动情境”. 良好的活动问题、良好的教学情境具有动力功能、发展功能、育人功能. 设计问题、创设教学情境的途径有：创设问题情境，创设思维情境，创设探究情境，创设分层教学情境，创设和谐情境. 良好的活动问题、教学情境能引起学生讨论，甚至激起学生辩论，当学生为捍卫自己的观点开展辩护时，就会增强他的自信心，同时也会激起其他学生的好奇心，学生一旦对数学产生了兴趣，就会产生无穷的能量. 这种优势在“学困生”转化的问题上表现得更为显著，因为“学困生”在传统的课堂上往往表现为缺少积极性，对教师提出的问题漠不关心，无所事事，对问题缺乏积极思考的动力，总是漫不经心，避而不管，事实上，所有学生的心灵深处都有一种根深蒂固的需要──希望自己能成为一个发现者、研究者、探索者. “学困生”参与活动的欲望并不比优等生差，如果问题设计合理，“学困生”就有表达自己想法的机会，教师就可以发现他们的闪心点，并给予及时的表扬和肯定，让他们尝到获得成功的喜悦，帮助他们树立自信心，有效地激起“学困生”对数学学习的内在兴趣.