立式捏合机桨叶型面设计与优化①

詹小斌，李锡文，张嘉琪，崔 峰

(1.华中科技大学 机械科学与工程学院，武汉 430074；2.湖北三江航天江河化工科技有限公司，宜昌 444200)

0 引言

立式捏合机是固体推进剂生产的关键设备，其产品质量和生产效率与桨叶结构密切相关[1-3]。桨叶结构主要由桨叶高度、螺旋角和型面决定[5]。航天四院42所王正方等进行了桨叶型面的基础研究，给出了桨叶参数的基本关系[4]。华中科技大学易朋兴等对桨叶的螺旋角进行了研究，设计了桨叶建模和优化系统，得出了具有最佳混合性能的螺旋角范围[5-6]。高粘度物料混合流场的计算流体力学(CFD)分析也逐渐成熟，并已用于优化混合设备的关键结构和工艺参数[7-10]。这些研究成果对提高固体推进剂混合效果具有非常重要的意义。

现有文献对桨叶捏合原理及桨叶型面的研究很少，少有指导桨叶设计的研究成果和理论。本文首次依据桨叶的捏合原理，通过分析桨叶运动特性、仿真桨叶捏合过程，修正了空心桨叶的捏合面轮廓；通过分析桨叶的力学性能和非捏合面的建模区域，提出了实心桨叶非捏合面轮廓的设计方法，并进行了有限元验证。

1 立式捏合机工作原理

立式捏合机为行星齿轮双桨形式，2个桨叶在混合容器绕各自轴线自转，并绕混合容器中心公转。在桨叶与桨叶之间、桨叶与混合容器壁之间满足最小间隙要求。通过自转和公转运动形成高剪切力，促使固体推进剂均匀混合，桨叶外形及位置关系如图1所示。

本文以1 L立式捏合机桨叶设计为实例，桨叶型面的主要几何尺寸如图2所示。桨叶的设计参数为：混合容器直径D=120 mm，桨叶高度h=90 mm，桨叶外径d=60 mm，基圆直径db=19 mm，桨叶间隙e=(2.2±0.1 mm)，实心桨叶偏心距as=13.9 mm，空心桨叶偏心距ak=27.8 mm，两桨叶中心距a=as+ak=41.7 mm，初始捏合角β= 45.695 5°，空心桨叶与实心桨叶的转速比为iks=2。

图1 桨叶外形及位置关系

图2 桨叶型面的主要几何尺寸

2 空心桨叶捏合面修正

2.1 桨叶捏合面设计原理

根据捏合原理，桨叶尖点的运动轨迹距另一桨叶捏合面轮廓的最小距离为e。在设计实心桨叶捏合面时，额外地为两桨叶捏合系统添加一个与实心桨叶运动方向相反、转速相等的运动，使实心桨叶转速为0，空心桨叶做复合运动以保持与实心桨叶的相对运动关系不变，如图3(a)所示。P1P2为过空心桨叶两尖点的直径向外延伸2e所得，x2O2y2绕O1以ws转动，P1P2绕O2以wk转动，从初始捏合位置开始至与基圆相交的P1点运动轨迹即为实心桨叶的捏合型面。计算空心桨叶捏合面时，现有文献都采用了同样方法[4,6,9]。

2.2 空心桨叶捏合面的设计缺陷

在计算实心桨叶时，空心桨叶尖点处于实心桨叶的包络范围内，空心桨叶直径向外部延伸2e，与实心桨叶捏合面轮廓相交，处于正常捏合状态。但当以实心桨叶尖点向外延伸2e计算空心桨叶型面时，计算起点P3与实心桨叶的尖点不重合，如图3(b)所示。

对比图3(a)、(b)，计算空心桨叶时，改变了以下实际捏合条件：

(1)桨叶的初始捏合角；

(2)空心桨叶与实心桨叶的包络关系；

(3)两桨叶的相对位置关系。

(a)实心桨叶

(b)空心桨叶

2.3 空心桨叶捏合面的数学模型

根据捏合要求，一个桨叶尖点的扫掠轨迹与另一个桨叶的型面最小间隙为e。因此，可先求出实心桨叶尖点的运动轨迹，然后将该轨迹向外侧法向偏移e，得到一条与该轨迹距离为e的等距曲线，即为空心桨叶捏合面轮廓。计算过程如图4所示，其空心桨叶捏合面轮廓的数学模型可表示为

Ck(θ2)=G(θ2)+e·N(θ2)

其中，G(θ2)=(xk(θ2),yk(θ2))为实心桨叶捏合尖点的运动轨迹，由下列方程确定：

式中θ2为空心桨叶完成一次捏合的自转角位移。

N(θ2)为G(θ2)的指向外侧的单位法向量：

图4 修正后空心桨叶轮廓生成示意图

2.4 桨叶轮廓仿真

通过Matlab仿真运动过程，修正后的空心桨叶型面在多个方面得到改善，表现在：

(1)在整个捏合过程中，都保持与实心桨叶尖点的运动轨迹等距，从而减小了混合死区；

(2)修正前捏合长度为21.79 mm，修正后捏合长度为31.78 mm，捏合范围增加约31.5%，从而提高了捏合效率；

(3)减小了桨叶根部的应力集中。

轮廓对比如图5所示。

图5 修正前后空心桨叶捏合轮廓对比

3 实心桨叶非捏合面优化

在混合过程中，桨叶的一侧为捏合面，另一侧为非捏合面。非捏合面不直接影响产品质量，但非捏合面必须满足以下要求：(1)与另一桨叶运动轨迹最小距离不小于e；(2)满足桨叶的强度和刚度要求；(3)桨叶的体积(质量)越小越好；(4)过渡光滑平缓。

3.1 非捏合面的建模区域

根据桨叶的捏合原理，固定一个桨叶，另一桨叶做复合运动，以保证2个桨叶的相对运动关系不变，运动桨叶运动一个周期后，运动桨叶两个尖点在整个工作区的扫掠轨迹内侧为运动桨叶覆盖区，扫掠轨迹外侧且与其距离为e的等距曲线，在固定桨叶外圆与基圆之间包围的区域为固定桨叶的建模区域，如图6中剖面线所示。因此，在建模区域内进行非捏合面设计，能保证与另一桨叶任何位置的最小距离不小于e。空心桨叶非捏合面建模区域大，限制因素少，可按相同原理进行设计，本文不做具体讨论。

(a)实心桨叶建模区 (b)空心桨叶建模区

3.2 实心桨叶的受力分析

桨叶在混合过程中对物料挤压和剪切，受到物料产生的垂直于桨叶表面的挤压力Fj和与桨叶表面相切的剪切力Fq。挤压力Fj可分解为垂直于桨叶型面的法向力Fn(用线载荷q(x)表示)、切于桨叶型面轮廓的切向力Ft和沿桨叶主轴方向的轴向力Fa。实心桨叶某一型面受力如图7所示。桨叶表面的受力大小可通过流体分析软件计算得来，目前已有诸多研究成果[9,11-12]。

(a)桨叶受力情况 (b)法向力分布

由于影响桨叶型面刚度和强度的主要因素是法向力，故计算时忽略其他作用力，并设定捏合面线载荷为均布载荷q。由于只考虑桨叶的法向力，为了简化设计过程，从桨叶中取出厚度为b(极小)的一段桨叶，将桨叶展开为悬臂结构来计算弯矩和剪切力，如图9所示。弯矩可表示为

根据等强度原则，可使桨叶的抗弯系数随弯矩变化，修去不必要的型面。桨叶抗弯系数沿轮廓方向的变化规律为

从而，桨叶型面宽度应满足：

(1)

桨叶的等剪切强度设计条件为

从而，其桨叶型面宽度应满足：

(2)

因此，桨叶型面宽度η(x)为

式中l为桨叶捏合轮廓展开总长度，l(x)为桨叶捏合轮廓距离桨叶中心的距离；η(x)为桨叶截面方向的厚度，见图7和图8。

根据式(1)和式(2)可知，桨叶型面的宽度呈线性关系，最大宽度位于桨叶的起始段，最小宽度位于桨尖。

图8 实心桨叶弯矩和剪切力分析

3.3 实心桨叶非捏合面设计

根据混合物料的不同，桨叶捏合面的压力p不同，计算的η(x)也不同。为保证混合的可靠性，可按桨叶的最大强度来设计，即以建模最小距离(薄弱点)为一设计定值，然后按照η(x)∝x来确定完整的非捏合面间隙。如图9所示，将非捏合面以建模最小距离分为两段，近桨段所受弯矩和剪切力都较大，其型面宽度应较大，极限情况可取建模区域边界。对于远桨段，弯矩和剪切力都逐渐变小。因此，型面宽度也应随轮廓位置逐渐减小，其最小值为ηmin。图9中采用等分方法，保证相同Δx减少相应的Δη(x)，图中仅粗略地给出了远心段的非捏合面轮廓设计原理，而更精准地设计可通过增加控制点或通过matlab等软件计算实现。

与捏合轮廓呈线性关系的轮廓也是样条曲线，考虑结构简单、型面光滑平缓和参数化建模等要求，使用圆弧来拟合非捏合轮廓。如图10所示，在近桨段，轨迹与基圆相切。因此，替代圆弧与桨叶基圆相切、半径不小于捏合曲线的曲率半径，即可满足不干涉条件。远桨段取两个端点和中间点拟合为圆弧即可，其拟合误差不大于0.05 mm。如图10所示，pn为非捏合面轮廓典型点；o1p1为非捏合面轮廓垂线；o3为p1p2垂直平分线与o1p1交点，即为替代圆弧圆心。

图9 非捏合面轮廓设计

图10 非捏合面轮廓优化

3.4 实心桨叶的有限元验证

3.4.1 力学分析验证

将桨叶的型面按照梁模型计算，其受压力p=2 kPa，其弯矩和剪力分布如图11所示。可见，与前面实心桨叶的受力分析吻合。分析弯矩和剪力数据与位置的关系可知，弯矩图与桨叶位置关系呈2次多项式关系，剪切力与桨叶位置关系呈线性关系。

(a)弯矩分布图 (b)剪力分布

3.4.2 应力应变验证

将优化前后的桨叶模型进行有限元分析，计算环境为面压力p=2 kPa，材料参数E=2.06 Pa，ν=0.3。优化前后的Von Mises云图如图12所示，其数据对比见表1。从优化前后的VonMises stress云图可知，优化后的桨叶应力集中区域减少，应力变化趋于平缓。对比ANSYS数据可知，优化后桨叶变形减小3%，体积缩

小约2%，而正应力分布和切应力变窄了，最大正应力为优化前的79.9%，最大切应力为优化前的81.3%。

(a)优化前的VonMises stress云图

(b)优化后的VonMises stress云图

项目最大变形/m最小正应力/Pa最大正应力/Pa桨叶体积/mm3XY面最小负切应力/PaXY面最大正切应力/Pa优化前0.201×10-4547.81956 431.445 459-25 777.429 696.2优化后0.195×10-4678.62845 085.644 647-19 097.124 147.4优化后/优化前/%97.0123.979.998.274.181.3

4 结论

(1)依照捏合原理，通过建模分析、运动特性仿真和力学性能分析，研究了立式捏合机桨叶的型面，提出了桨叶型面新的设计方法。新设计方法已在1 L、3 L和5 L立式捏合机上应用，对桨叶的混合性能和力学性能有较大改善。

(2)空心桨叶捏合型面模型修正。根据捏合原理，分析了现有空心桨叶计算过程，找出了存在的问题，提出了空心桨叶建模的新方法。仿真结果表明，捏合范围提高了约31.5%。

(3)实心桨叶的非捏合面轮廓优化。根据捏合要求，对实心桨叶的非捏合面进行系统分析，提出了基于等力学性能的最大承载能力的非捏合面轮廓设计方法。ANSYS仿真结果表明，优化后的桨叶在变形减少情况下，最大正应力和最大切应力都减小了约20%。

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