活动经历：数学基本活动经验形成的关键

费岭峰

数学基本活动经验是《数学课程标准》（2011年版）提出的课程总目标中的“四基”之一。笔者曾撰文谈道：数学基本活动经验的形成，在具体内容的学习中表现出不同的特点，并以“数的运算”学习为例，谈了基本活动经验在具体内容学习中的特定表现及形成关键。本文将就此问题，结合“平面图形的面积计算”的学习作进一步探讨。

一、数学基本活动经验形成的特点

《数学课程标准》（2011年版）在课程总目标中提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”通过深入思考，笔者认为，“四基”目标有其各自的内涵，但相互之间又有着密切的联系。

数学的基础知识是指数学课程中所涉及的基本概念、基本性质、基本法则、基本公式等，基本技能则包括基本的运算、测量、绘图等。数学的基本思想主要是指“数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想。之所以把这些称之为数学基本思想，是因为它们贯穿于数学的学习过程，是对数学本质理解的集中体现”。数学基本活动经验则是指学习主体在经历为理解数学基础知识、习得数学基本技能以及获取数学基本思想而设计的数学活动的过程中，所形成的具有较强个性特色的感受与体验。

从“四基”的含义或特征来看，数学基础知识、基本技能与基本思想是具体的、显性的，学习过程中也有特定指向，特别是基础知识和基本技能，是由具体的数学知识理解或掌握与否来体现的。而数学基本活动经验的形成则不同，其形成过程中必定有承载着学习主体“经历、体验、探索”等行为发生的数学活动作支撑，且这个过程是一个长期的、不太显性的、潜移默化的累积过程，更多表现在学习方法的选择与思维过程的推进层面，并且伴随在知识理解、技能习得、思想获取的过程中发生。

二、“平面图形的面积计算”学习中基本活动经验的解构

根据以上分析，数学基本活动经验的形成，与学习活动的目标有着直接的联系。特定数学内容的学习，需借助相应的数学活动经验；学习者特定数学活动经验的丰富，有助于相关数学内容的学习。这就要求我们教师在设计具体的学习活动时，需关注有利于学习者相应活动经验的积累，从而在引导学生学习相关知识的过程中，能更好地形成相应的数学基本活动经验。

就“平面图形的面积计算”的学习而言，我们知道，基础知识主要是相关平面图形的面积计算公式的理解与掌握，基本技能则是会用面积计算公式解决相应的问题，基本思想体现为“面积计算公式”探索时思维过程的发生与发展、公式提炼时的思考方法的选择与应用。基于此，我们可以在“平面图形的面积计算”的教学中，引导学生在经历相关平面图形的面积计算公式的理解活动、基本技能的习得过程、基本思想的获取历程的全过程中，结合具体的猜想验证、动手操作、交流分享、原理思辨等活动，逐渐积累起个性化的感受与体验。同时，根据“平面图形的面积计算”学习的不同阶段，可以将基本活动经验的形成解构成三个层次：一是基于面积计算本质内涵理解活动的概念、理解经验的形成，二是基于面积计算方法探索活动的模型建构经验的形成，三是基于实际面积问题解决活动的技能应用经验的形成。

三、基于“平面图形的面积计算”学习的数学基本活动经验形成过程分析

如前所述，数学基本活动经验的形成，伴随着相应的数学学习活动，如观察活动、猜测验证活动、推理与交流活动及抽象与概括活动等。这些活动由于指向目标的不同，在经验形成过程中起着不同的作用。笔者现就“平面图形的面积计算”学习中数学基本活动经验的形成过程，结合实践作具体分析。

1.经历面积计算本质内涵理解的活动，积累概念理解经验

面积就是物体表面或平面图形的大小，度量面积的大小需要用到面积单位。测量某个平面图形的面积，其实质是测量该平面图形包含的面积单位的个数。因此，我们可以这样认为，计算某个平面图形的面积，其实质便是算出该图形所包含的面积单位的个数。如计算一个长5厘米、宽3厘米的长方形的面积，便是计算出这个长方形中包含的平方厘米的个数。

当然，要理解长方形面积计算的本质内涵，积累起相应的概念理解经验，并不是一蹴而就的。它可以通过三个层次的数学活动经历逐步积累起相关的感受与体验。

第一层次的活动：直观判断，感知长方形面积的特征及大小，即观察某个特定的长方形，估测其面积的大小。

第二层次的活动：操作验证，确认长方形面积的大小，即通过面积单位的度量，体会某个特定的长方形中含有面积单位的个数。

第三层次的活动：归纳提炼，深入理解长方形面积与其特定长方形的长和宽的关系，即通过对应理解，总结方法。

三个层次的活动，可以帮助学习者从目标、方法层面积累起平面图形面积内涵理解的活动经验，即知道计算平面图形的面积，首先需要弄清面积计算的实质是什么；需要确认图形面积的大小，知道可借助面积单位去度量；最后清晰把握，求解平面图形的面积时，知道需要根据长度信息与面积计算之间的关系，提炼运算方法。

这便是学习者在长方形面积内涵理解活动中获取的活动经验。这样的活动经验显然是其后续学习其他平面图形面积计算方法，立体图形的表面积计算方法，乃至立体图形体积计算方法的基础。因为我们知道，在求立体图形的表面积时，其实质同样是在计算立体图形表面所包含的面积单位的个数；求立体图形的体积，其实质则是在计算物体所包含的体积单位的个数。学生有了平面图形的面积内涵理解经验之后，对这些概念内涵的理解，便可以同样采用直观判断、操作验证、归纳提炼等数学活动来完成，而这也是学生数学基本活动经验形成与发展的意义体现。

2.经历面积计算方法探索活动，积累模型建构经验

当有了对平面图形面积计算的本质内涵理解之后，面积计算方法的探索提炼才有根基，探索面积计算方法的活动，也才有可能是围绕本质的研究。笔者现以“平行四边形的面积计算方法的探索”为例，来分析平面图形的面积计算方法探索及其活动经验形成的一般过程。

关于“平行四边形的面积计算”这节内容，学生是在仅仅学习和掌握了长方形的面积计算方法（正方形是特殊的长方形）之后学习的，因此，对学生而言，探索平行四边形的面积计算方法，建构面积计算模型，同样需要经历以下三个层次的活动。

层次一：寻找恰当的探究路径。从学生的学习基础来看，探索平行四边形的面积计算方法的路径之一，可如同长方形的面积计算方法探索那样，从面积意义入手，通过摆面积单位去发现规律（事实上教材提供的摆方格纸的方法便是出于此目的），提炼模型，从而归纳出面积计算公式。这条路径虽可行，但因为操作材料限制（数据非整数时，数方格的方法便缺少说服力）而缺乏普适性。第二条路径，便是将平行四边形通过割补转化为长方形后，借助长方形的面积计算方法推导出平行四边形的面积计算方法，此法因从两者要素关系的分析入手，不受数据的影响，所以更具普适性。

层次二：分析要素间的联系，找到合理的转化方式。利用化归法将平行四边形转化为长方形，通过“证实”与“证伪”，确认以“剪拼”的方式进行转化是合理的方法后，找到原平行四边形与转化后的长方形的要素与面积间的联系，通过长方形的面积计算公式推导出平行四边形的面积计算公式。

层次三：在举一反三基础上的提炼与归纳。也就是结合举例验证，确认方法的合理性与公式的正确性，从而掌握平行四边形的面积计算方法。

显然，在以上三个层次的数学活动中，因为有围绕化归所设计的操作、验证等活动的充分实施，切实体验，其形成与积累的数学模型建构的活动经验，自然成为了后续学习三角形面积、梯形面积以及圆的面积的重要经验基础，而这也同样是数学基本活动经验积累的重要价值。

3.经历实际面积问题解决的活动，积累技能应用经验

通过教学实践，我们已经知道，学生应用面积计算公式解决实际问题的过程一般分为三个步骤：一是信息的分析与处理；二是与相关面积计算方法建立连接，并进行解答；三是对解决结果进行相应的验证，以确保问题解决的正确性。但在涉及具体问题时，却又会产生不同的经验。笔者认为，学生在用面积计算公式解决实际问题时，技能应用的经验积累反映在对不同性质问题的探究活动中。现从三个层面加以说明：

（1）与平面图形面积计算相关的基本问题解决经验的积累。这是图形面积计算方法的直接运用阶段。这样的问题一般具有信息提供简单、直接，问题指向明确等特点。如：用一个篱笆围成一块长5米、宽4米的长方形菜地，这块菜地的面积是多少平方米？

解决此类问题时，学生只需将问题中的条件信息与相关图形面积计算公式中的基本元素对应起来，直接列式即可解答。以上问题中，实际是求一个长方形的面积。于是，根据长方形的面积计算公式：长×宽=面积，直接列出算式5×4计算可得20平方米，其间所涉及的思维要求是最为基本的，也是最为直接的。

（2）与平面图形面积计算相关的变式问题解决经验的积累。所谓变式问题，是指该问题呈现的信息不能与相关图形的面积计算公式中的元素直接建立联系，需要通过一定的转化还原才能找到连接点，从而解决问题。如同样是计算篱笆围成的长方形菜地面积的问题：用一个36米长的篱笆，围一块一面靠墙的长方形菜地，这块菜地长和宽的比是4：1，这块菜地的面积是多少平方米？

解决此类问题时，其所利用的经验与前一问题有着很大的不同。其首先得思考：根据全长与长宽之比求得长和宽，且因信息中没有告知哪边靠墙，所以结果又有两种不同的可能。如果是长边靠墙，围成的长方形菜地的长是36÷6×4=24（米），宽为36÷6×1=6（米），面积即为24×6=144（平方米）；如果是短边靠墙，围成的长方形菜地长是36÷9×4=16（米），宽为36÷9×1=4（米），面积即为16×4=64（平方米）。这样的活动经验，相对基本问题的解决，就显得更为丰富，也更为综合了。

（3）与平面图形面积计算相关的综合问题解决经验的积累。此处所讲的综合问题，是指那些虽与平面图形面积计算相关，但并不是以求得图形面积为最终目标的问题。在求解过程中，需要学生有一定的甄别经验。

如：用一块长3米、宽2米的钢板，切割成两条直角边均是0.5米的三角形钢板，可以切出多少块？

再如：用一块长3米、宽2米的钢板，切割成边长为6分米的正方形钢板，可以切出多少块？

以上两个问题中图形信息的提供不是以求解图形的面积为最终目的的，而是为解决另一个更为具体的生活问题服务的。显然，与前面的问题相比，具有更强的综合性。且在第二个问题的解决过程中，已经跳出了用面积计算方法解答的范围，这在思维要求上突破了平面图形面积计算的思路，需要在更为广阔的思维层面上分析问题、解决问题。此类解决问题经验的形成与积累，同样是学生在数学学习过程需要完成的，且是后续学习更需要的，是学生数学综合素养的关键内容。