例谈“1”在小学数学解题中的妙用

宣国成

华罗庚曾说：“善于‘退，足够地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”从一般退到特殊，从多维退到低维，从空间退到平面，从抽象退到具体……只要不影响问题的求解，对于许多复杂的问题，以退求进是一种重要的解题思想。在实际教学过程中，有很多的知识点，如果我们巧设“退路”，往往会有另一番收获。根据多年的教学实践，笔者认为妙用“1”作“辅助”或“退路”，不失为一种渗透数学思想、提升学生思维的有效策略。

一、巧补“1”，帮助学生理解变化规律

在学习了小数的乘除法之后，根据乘数（除数）的大小，判断积（商）与被乘数（被除数）的大小，是教学中常见的题型。对于绝大多数学生来说，这类题型不难理解，但对于小部分学困生来说，却往往会顾此失彼、错误不断。如“比较大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教师会采用先“划”（划出某个数）再“比”的方式进行，有的教师会用看因数（除数）是不是纯小数来判断，但对部分学困生来说，既要先搞明白纯小数的意思，又要进行比较，这个弯不是一下子就能转得过来，显然也是不太现实的。对此不妨巧补“1”来解决此类题。如：2.68×1.03○2.68×1，这样，使“○”的左右各变成乘法算式，其中一个因数相同，要比较大小只要看另一个因数的大小就可以了。因为根据积的变化规律可知：在乘法中，一个因数不变，另一个因数大，乘积就大。这样一“补”就能顺利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根据商的变化规律可知：在除法中，如果被除数不变，除数越小，商就越大。这样的“退”不只是比较了大小，更是加深了对“积（或商）”变化规律的认识，不失为一种有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，帮助学生掌握数量关系

理解和分析数量关系，是小学生数学学习的必要技能之一。目前，在解决数学问题的过程中， “数量关系”的理解是学生较为薄弱的内容。因此，很多教师都会花大力气让学生熟记一些常用的数量关系，以期达到根据数量关系（“葫芦”）来达成解决问题（“画瓢”）的目的。殊不知，“数量关系”在不同的情节下，无论是表达的顺序，还是表现形式都是多变的，借助“熟记”来解决实际问题，不光会加重记忆负担，也会使解题失去灵活性。如：一辆汽车行驶35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行驶（ ）千米，行驶1千米需要（ ）升汽油？这类题是学生很容易出错的题型，因为它没有很明显的数量关系式可用，在行程问题中是用“路程=速度×时间”的关系。如果我们巧借“1”也同样可使问题迎刃而解。请看：要求每升汽油能行驶多少千米。原先是2.45升，如今变成“1升”，必须“÷2.45”才会是“1升”。根据等式的性质，那另一个数“35”也同样需要“÷2.45”，这样列出来的算式，就是满足条件的算式。

同理，要求行驶1千米需要多少升汽油，也应先把35千米变成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具体函数量关系如下图所示。借助“1”，可以解决很多“归一”类题目，易懂又省时。

■

三、巧设“1”，帮助学生简化解题思路

“比和比例”单元中要学生组成“比例”，这是易出较多错误的知识点。合理巧借“1”既可以帮助学生简化思路，使复杂问题变成简单问题，使学生的错误减少到最低程度，也会使学生的理解能力得以提升。如：甲数的■等于乙数的2.4倍，求甲数∶乙数=（ ）∶（ ）。很多学生由于受从左往右运算顺序的影响，也往往会出现“甲数∶乙数=■∶2.4”这种错误。这时可借助“1”，根据倒数的知识，假设“甲数的■为1时，则甲数就是■”，同理，假设“乙数的2.4倍为1时，则乙数就是■”，即甲数∶乙数=■∶■=16∶5，具体数量关系如下图所示。

甲数的■等于乙数的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧变“1”，帮助学生化解学习难点

在解方程单元中，求除数（减数）是未知项的方程，也是学生错误的高发区。此时借助巧变“1”，可帮助学生化解学习难点。如解方程：72÷2x=6，可以通过以下步骤进行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

从上面的步骤中看到，这里借助商是“1”，巧妙地化解了求除数是未知数的难题，而且学生容易理解和掌握。因为要使商为“1”，只有“被除数=除数”时才能实现。

我们知道，从“知识的课堂”到“能力的课堂”再到“创新的课堂”，这种课堂的转型，必须建立在以学生学习为中心的理念之上才能得以实现。从上述巧借“1”在数学解题中的实例探索中可以看到，当我们的数学组织教学工作围绕着“学生中心”来教（或称为“以学定教”）的时候，教学才能达到轻负高质的要求。也只有这样，学生才可能感受到数学是能学习的，是可以接受的，进而走进数学，亲近数学，喜欢数学，这也是数学教师所应追求的最终目的。

（责编 黄春香）endprint

华罗庚曾说：“善于‘退，足够地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”从一般退到特殊，从多维退到低维，从空间退到平面，从抽象退到具体……只要不影响问题的求解，对于许多复杂的问题，以退求进是一种重要的解题思想。在实际教学过程中，有很多的知识点，如果我们巧设“退路”，往往会有另一番收获。根据多年的教学实践，笔者认为妙用“1”作“辅助”或“退路”，不失为一种渗透数学思想、提升学生思维的有效策略。

一、巧补“1”，帮助学生理解变化规律

在学习了小数的乘除法之后，根据乘数（除数）的大小，判断积（商）与被乘数（被除数）的大小，是教学中常见的题型。对于绝大多数学生来说，这类题型不难理解，但对于小部分学困生来说，却往往会顾此失彼、错误不断。如“比较大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教师会采用先“划”（划出某个数）再“比”的方式进行，有的教师会用看因数（除数）是不是纯小数来判断，但对部分学困生来说，既要先搞明白纯小数的意思，又要进行比较，这个弯不是一下子就能转得过来，显然也是不太现实的。对此不妨巧补“1”来解决此类题。如：2.68×1.03○2.68×1，这样，使“○”的左右各变成乘法算式，其中一个因数相同，要比较大小只要看另一个因数的大小就可以了。因为根据积的变化规律可知：在乘法中，一个因数不变，另一个因数大，乘积就大。这样一“补”就能顺利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根据商的变化规律可知：在除法中，如果被除数不变，除数越小，商就越大。这样的“退”不只是比较了大小，更是加深了对“积（或商）”变化规律的认识，不失为一种有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，帮助学生掌握数量关系

理解和分析数量关系，是小学生数学学习的必要技能之一。目前，在解决数学问题的过程中， “数量关系”的理解是学生较为薄弱的内容。因此，很多教师都会花大力气让学生熟记一些常用的数量关系，以期达到根据数量关系（“葫芦”）来达成解决问题（“画瓢”）的目的。殊不知，“数量关系”在不同的情节下，无论是表达的顺序，还是表现形式都是多变的，借助“熟记”来解决实际问题，不光会加重记忆负担，也会使解题失去灵活性。如：一辆汽车行驶35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行驶（ ）千米，行驶1千米需要（ ）升汽油？这类题是学生很容易出错的题型，因为它没有很明显的数量关系式可用，在行程问题中是用“路程=速度×时间”的关系。如果我们巧借“1”也同样可使问题迎刃而解。请看：要求每升汽油能行驶多少千米。原先是2.45升，如今变成“1升”，必须“÷2.45”才会是“1升”。根据等式的性质，那另一个数“35”也同样需要“÷2.45”，这样列出来的算式，就是满足条件的算式。

同理，要求行驶1千米需要多少升汽油，也应先把35千米变成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具体函数量关系如下图所示。借助“1”，可以解决很多“归一”类题目，易懂又省时。

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三、巧设“1”，帮助学生简化解题思路

“比和比例”单元中要学生组成“比例”，这是易出较多错误的知识点。合理巧借“1”既可以帮助学生简化思路，使复杂问题变成简单问题，使学生的错误减少到最低程度，也会使学生的理解能力得以提升。如：甲数的■等于乙数的2.4倍，求甲数∶乙数=（ ）∶（ ）。很多学生由于受从左往右运算顺序的影响，也往往会出现“甲数∶乙数=■∶2.4”这种错误。这时可借助“1”，根据倒数的知识，假设“甲数的■为1时，则甲数就是■”，同理，假设“乙数的2.4倍为1时，则乙数就是■”，即甲数∶乙数=■∶■=16∶5，具体数量关系如下图所示。

甲数的■等于乙数的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧变“1”，帮助学生化解学习难点

在解方程单元中，求除数（减数）是未知项的方程，也是学生错误的高发区。此时借助巧变“1”，可帮助学生化解学习难点。如解方程：72÷2x=6，可以通过以下步骤进行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

从上面的步骤中看到，这里借助商是“1”，巧妙地化解了求除数是未知数的难题，而且学生容易理解和掌握。因为要使商为“1”，只有“被除数=除数”时才能实现。

我们知道，从“知识的课堂”到“能力的课堂”再到“创新的课堂”，这种课堂的转型，必须建立在以学生学习为中心的理念之上才能得以实现。从上述巧借“1”在数学解题中的实例探索中可以看到，当我们的数学组织教学工作围绕着“学生中心”来教（或称为“以学定教”）的时候，教学才能达到轻负高质的要求。也只有这样，学生才可能感受到数学是能学习的，是可以接受的，进而走进数学，亲近数学，喜欢数学，这也是数学教师所应追求的最终目的。

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华罗庚曾说：“善于‘退，足够地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”从一般退到特殊，从多维退到低维，从空间退到平面，从抽象退到具体……只要不影响问题的求解，对于许多复杂的问题，以退求进是一种重要的解题思想。在实际教学过程中，有很多的知识点，如果我们巧设“退路”，往往会有另一番收获。根据多年的教学实践，笔者认为妙用“1”作“辅助”或“退路”，不失为一种渗透数学思想、提升学生思维的有效策略。

一、巧补“1”，帮助学生理解变化规律

在学习了小数的乘除法之后，根据乘数（除数）的大小，判断积（商）与被乘数（被除数）的大小，是教学中常见的题型。对于绝大多数学生来说，这类题型不难理解，但对于小部分学困生来说，却往往会顾此失彼、错误不断。如“比较大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教师会采用先“划”（划出某个数）再“比”的方式进行，有的教师会用看因数（除数）是不是纯小数来判断，但对部分学困生来说，既要先搞明白纯小数的意思，又要进行比较，这个弯不是一下子就能转得过来，显然也是不太现实的。对此不妨巧补“1”来解决此类题。如：2.68×1.03○2.68×1，这样，使“○”的左右各变成乘法算式，其中一个因数相同，要比较大小只要看另一个因数的大小就可以了。因为根据积的变化规律可知：在乘法中，一个因数不变，另一个因数大，乘积就大。这样一“补”就能顺利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根据商的变化规律可知：在除法中，如果被除数不变，除数越小，商就越大。这样的“退”不只是比较了大小，更是加深了对“积（或商）”变化规律的认识，不失为一种有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，帮助学生掌握数量关系

理解和分析数量关系，是小学生数学学习的必要技能之一。目前，在解决数学问题的过程中， “数量关系”的理解是学生较为薄弱的内容。因此，很多教师都会花大力气让学生熟记一些常用的数量关系，以期达到根据数量关系（“葫芦”）来达成解决问题（“画瓢”）的目的。殊不知，“数量关系”在不同的情节下，无论是表达的顺序，还是表现形式都是多变的，借助“熟记”来解决实际问题，不光会加重记忆负担，也会使解题失去灵活性。如：一辆汽车行驶35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行驶（ ）千米，行驶1千米需要（ ）升汽油？这类题是学生很容易出错的题型，因为它没有很明显的数量关系式可用，在行程问题中是用“路程=速度×时间”的关系。如果我们巧借“1”也同样可使问题迎刃而解。请看：要求每升汽油能行驶多少千米。原先是2.45升，如今变成“1升”，必须“÷2.45”才会是“1升”。根据等式的性质，那另一个数“35”也同样需要“÷2.45”，这样列出来的算式，就是满足条件的算式。

同理，要求行驶1千米需要多少升汽油，也应先把35千米变成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具体函数量关系如下图所示。借助“1”，可以解决很多“归一”类题目，易懂又省时。

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三、巧设“1”，帮助学生简化解题思路

“比和比例”单元中要学生组成“比例”，这是易出较多错误的知识点。合理巧借“1”既可以帮助学生简化思路，使复杂问题变成简单问题，使学生的错误减少到最低程度，也会使学生的理解能力得以提升。如：甲数的■等于乙数的2.4倍，求甲数∶乙数=（ ）∶（ ）。很多学生由于受从左往右运算顺序的影响，也往往会出现“甲数∶乙数=■∶2.4”这种错误。这时可借助“1”，根据倒数的知识，假设“甲数的■为1时，则甲数就是■”，同理，假设“乙数的2.4倍为1时，则乙数就是■”，即甲数∶乙数=■∶■=16∶5，具体数量关系如下图所示。

甲数的■等于乙数的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧变“1”，帮助学生化解学习难点

在解方程单元中，求除数（减数）是未知项的方程，也是学生错误的高发区。此时借助巧变“1”，可帮助学生化解学习难点。如解方程：72÷2x=6，可以通过以下步骤进行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

从上面的步骤中看到，这里借助商是“1”，巧妙地化解了求除数是未知数的难题，而且学生容易理解和掌握。因为要使商为“1”，只有“被除数=除数”时才能实现。

我们知道，从“知识的课堂”到“能力的课堂”再到“创新的课堂”，这种课堂的转型，必须建立在以学生学习为中心的理念之上才能得以实现。从上述巧借“1”在数学解题中的实例探索中可以看到，当我们的数学组织教学工作围绕着“学生中心”来教（或称为“以学定教”）的时候，教学才能达到轻负高质的要求。也只有这样，学生才可能感受到数学是能学习的，是可以接受的，进而走进数学，亲近数学，喜欢数学，这也是数学教师所应追求的最终目的。

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