尝试，成长的另一种模式

潘霞

在全国现代与经典的讲台上，我选择了“倍数和因数”这一教学内容作为课例，这是苏教版四年级下册的内容。一开始选这节课，是感觉这节课似乎不难上，而且前几年“数学王子”——张齐华老师上过这节课，有很多地方可以学习和借鉴。可等到自己备课，细细地研究教材时，才发现这节课其实不好上，不但知识点多，而且概念学生也比较难理解。试上了几次，都屡遭失败。于是我重新研究和思考，怎样才能让学生真正理解倍数和因数的含义，并以此为前提，让学生能够自然地掌握求一个数的倍数或因数的方法。

教材是通过让学生用12个同样大的正方形拼成一个长方形，引出三种不同的拼法，并让学生用乘法算式表示出这些拼法，然后结合其中的一道乘法算式，揭示倍数和因数的概念。一开始的试教，我正是按照这样的思路展开教学的，教学过程也比较顺利，接下来的模仿性练习，学生也能正确地说出谁是谁的倍数，谁是谁的因数。在模仿性练习后，为了帮助学生加深对概念的理解，我安排了几道“变式”和“反例”的讨论，当出示“13÷3=4……1”这个算式时，问题出现了：学生竟然也会依样画葫芦地说：“ 13是3的倍数，13也是4……1的倍数；3是13的因数，4……1也是13的因数。”可见，学生其实并没有真正把握概念的实质，只是从形式上学会了模仿着说说而已。

是什么原因导致了这种现象？我的第一感觉是可能学生没有动手操作，体验不深，才导致他们对于每排个数、排数和总数之间的关系不明确。所以再次试教时，我有意加入了让学生摆拼操作的活动，希望通过操作以及数形结合，帮助学生更好地理解倍数和因数的关系。但是课堂还是没有朝着我所设计的目标走下去，揭示概念之后，学生还是把所有注意力集中到了乘法算式上，并没有和之前的对摆拼活动的感受联系起来，关注的还是一些形式上的关系，在变式练习中仍然出现了上面类似的问题，并没有注意到倍数和因数的本质关系。

于是，我又重新反思：对于学生来说，倍数和因数之间究竟是怎样一种关系？两个数之间要形成倍数和因数的关系，其前提条件和实质又是什么？经过这样的思考，我猜测：学生只是知道了除法算式中可以找到倍数和因数，而不知道两个数之间要形成倍数和因数的关系其实质应该是“整除”，即其中的一个数去除以另一个数，商要是整数而没有余数。为了让学生清晰地理解这一概念的本质，我进行了这样的设计：先通过摆拼操作让学生初步体验小正方形总个数与每排个数之间的“整除”关系，再通过对除法算式的观察比较进一步明确总个数和每排个数之间的“整除”关系，最后再结合具体的图形和算式，揭示概念的定义。这样，就能使学生较好地把握概念的本质，并在此基础上学会形式上的表达。

同时，我也考虑，根据除法算式引出倍数和因数的概念是否恰当？因为根据除法算式引出倍数和约数才是比较顺当的，而倍数和因数，的确从乘法算式引出更加合理。而因数也好，约数也好，当它们和倍数组成一种相对关系时，其实质应该是相同的。因此，我做了如下的尝试。

一、创设情境

师：羊村里开会。12个同样大的正方形，怎样正好拼成一个长方形？大家说说你们是怎样排的。

生1：每排12个。（板贴：12÷1=12）

生2：每排4个。（板贴：12÷4=3）

生3：每排3个。（板贴：12÷3=4）

生4：每排2个。（板贴：12÷2=6）

生5：每排1个。（板贴：12÷1=12）

师：还有其他办法吗？懒羊羊提出，每排摆5个可以吗？

生6：不可以，每排5个，余了2个。

师：每排可以摆7个呀？

生6：不行，多了5个。

师：懒羊羊就很奇怪了，为什么喜洋洋说的都对，他说的就不行呢？到底每排数到底要符合怎样的条件，才可以正好拼出一个长方形。

生7：每排拼出来后，没有多出来的正方形。

师（揭题）：刚才像你们说的这些情况，在数学上可以用“倍数和因数”的关系来说。

二、认识倍数和因数

1.初步认识倍数和因数

师：12÷3=4中，12是4的倍数，4是12的因数。

师：你选择的是哪一个算式，同桌之间相互说一说。在说倍数和因数时，所说的数一般指不是0的自然数。

师（课件展示“36÷3=12”）：根据这个除法算式能想出另一个除法算式吗？

师（小结）：36是3的倍数，36也是12的倍数，3和12都是36的倍数。

师（课件展示“3×12=36”）：这个算式有倍数和因数关系吗？

师：像这样，不管是除法算式还是乘法算式，我们都能发现各数之间的关系。原来每排个数和只要存在倍数和因数关系就可以了。懒羊羊说12是倍数，可以吗？

生：不行，他没有说是谁的倍数。

师：对，一定要说清楚是谁的倍数。

2.探索求一个数的倍数的方法

师：懒羊羊说15是3的倍数。为什么？

师：21是3的倍数吗？

师：都是3的倍数呀，3的倍数还有哪些，请写在作业纸上。

师：你们像比赛一样，一个比一个写得多呀。你有什么好办法写了这么多？

师：两位同学都找到了3的倍数，一个是用连续加3的方法，一个是用乘法，你觉得哪种方法比较简单？

师：写数的时候，一般写完前5个，就可以用省略号表示。

师（让学生比较有顺序地找2和5的倍数）：5要不要写？

生8：5是5的倍数。

生9：我写的是1的倍数。1，2，3，4，5……

师：所有的非零自然数都是1的倍数。

师：在写倍数的时候，有什么发现？

生10：一个数的倍数有最小的，没有最大的。

师（小结）：一个数的倍数最小是它本身，没有最大，并且一个数的倍数有无数个。

3.探索求一个数的因数的方法

师：一个数的因数是不是也有无数个？

（生独立完成并交流36的因数）

生11：36除以5没有。

生12：不是没有，是有余数。

生13：他能有顺序地说。

生14：通过一个算式可以得到一个数的两个因数。

生15：36除以6等于6，6也是36的因数。

师：6写几个？重复的只写1个。写的时候可以一对一对地写，也可以从两头开始写。（师生从两头一起写）找全了，用一个句号来表示。像这样有序地写一个数的因数，学会了吗？一起来说一说8的因数和9的因数。

师：你们在写一个数的因数的时候，有什么发现？也围绕最大、最小、个数这三个特征来找一找。

师：学到这，你知道了些什么呢？

■

三、新知运用

1.24个同学表演团体操，把队伍的排列情况填写完整。

■

师：排数和每排人数以及24是什么关系？

2.根据自己的学号，正确快速地做出判断。（拍照游戏）

（1）学号是7的倍数。

师：一个数的倍数应该是无限的，怎么人数是有限的呢？

生：因为班级里的人数是有限的。

（2）学号是7的因数。

学号是35号的学生走上讲台后发现不对：35是7的倍数，而不是因数。

（3）学号是1的因数。

师：好孤单啊，只有一个人。

生：1的因数是1，只有1。1是所有非零自然数的因数。

（4）学号是1的倍数。

剩下的学生兴奋地跑上讲台，集体拍照，活动结束。

整节课，学生对于知识的探索积极主动，对知识的理解正确深刻，听课老师给予评价：整节课简约而不简单！

（责编 金 铃）

在全国现代与经典的讲台上，我选择了“倍数和因数”这一教学内容作为课例，这是苏教版四年级下册的内容。一开始选这节课，是感觉这节课似乎不难上，而且前几年“数学王子”——张齐华老师上过这节课，有很多地方可以学习和借鉴。可等到自己备课，细细地研究教材时，才发现这节课其实不好上，不但知识点多，而且概念学生也比较难理解。试上了几次，都屡遭失败。于是我重新研究和思考，怎样才能让学生真正理解倍数和因数的含义，并以此为前提，让学生能够自然地掌握求一个数的倍数或因数的方法。

教材是通过让学生用12个同样大的正方形拼成一个长方形，引出三种不同的拼法，并让学生用乘法算式表示出这些拼法，然后结合其中的一道乘法算式，揭示倍数和因数的概念。一开始的试教，我正是按照这样的思路展开教学的，教学过程也比较顺利，接下来的模仿性练习，学生也能正确地说出谁是谁的倍数，谁是谁的因数。在模仿性练习后，为了帮助学生加深对概念的理解，我安排了几道“变式”和“反例”的讨论，当出示“13÷3=4……1”这个算式时，问题出现了：学生竟然也会依样画葫芦地说：“ 13是3的倍数，13也是4……1的倍数；3是13的因数，4……1也是13的因数。”可见，学生其实并没有真正把握概念的实质，只是从形式上学会了模仿着说说而已。

是什么原因导致了这种现象？我的第一感觉是可能学生没有动手操作，体验不深，才导致他们对于每排个数、排数和总数之间的关系不明确。所以再次试教时，我有意加入了让学生摆拼操作的活动，希望通过操作以及数形结合，帮助学生更好地理解倍数和因数的关系。但是课堂还是没有朝着我所设计的目标走下去，揭示概念之后，学生还是把所有注意力集中到了乘法算式上，并没有和之前的对摆拼活动的感受联系起来，关注的还是一些形式上的关系，在变式练习中仍然出现了上面类似的问题，并没有注意到倍数和因数的本质关系。

于是，我又重新反思：对于学生来说，倍数和因数之间究竟是怎样一种关系？两个数之间要形成倍数和因数的关系，其前提条件和实质又是什么？经过这样的思考，我猜测：学生只是知道了除法算式中可以找到倍数和因数，而不知道两个数之间要形成倍数和因数的关系其实质应该是“整除”，即其中的一个数去除以另一个数，商要是整数而没有余数。为了让学生清晰地理解这一概念的本质，我进行了这样的设计：先通过摆拼操作让学生初步体验小正方形总个数与每排个数之间的“整除”关系，再通过对除法算式的观察比较进一步明确总个数和每排个数之间的“整除”关系，最后再结合具体的图形和算式，揭示概念的定义。这样，就能使学生较好地把握概念的本质，并在此基础上学会形式上的表达。

同时，我也考虑，根据除法算式引出倍数和因数的概念是否恰当？因为根据除法算式引出倍数和约数才是比较顺当的，而倍数和因数，的确从乘法算式引出更加合理。而因数也好，约数也好，当它们和倍数组成一种相对关系时，其实质应该是相同的。因此，我做了如下的尝试。

一、创设情境

师：羊村里开会。12个同样大的正方形，怎样正好拼成一个长方形？大家说说你们是怎样排的。

生1：每排12个。（板贴：12÷1=12）

生2：每排4个。（板贴：12÷4=3）

生3：每排3个。（板贴：12÷3=4）

生4：每排2个。（板贴：12÷2=6）

生5：每排1个。（板贴：12÷1=12）

师：还有其他办法吗？懒羊羊提出，每排摆5个可以吗？

生6：不可以，每排5个，余了2个。

师：每排可以摆7个呀？

生6：不行，多了5个。

师：懒羊羊就很奇怪了，为什么喜洋洋说的都对，他说的就不行呢？到底每排数到底要符合怎样的条件，才可以正好拼出一个长方形。

生7：每排拼出来后，没有多出来的正方形。

师（揭题）：刚才像你们说的这些情况，在数学上可以用“倍数和因数”的关系来说。

二、认识倍数和因数

1.初步认识倍数和因数

师：12÷3=4中，12是4的倍数，4是12的因数。

师：你选择的是哪一个算式，同桌之间相互说一说。在说倍数和因数时，所说的数一般指不是0的自然数。

师（课件展示“36÷3=12”）：根据这个除法算式能想出另一个除法算式吗？

师（小结）：36是3的倍数，36也是12的倍数，3和12都是36的倍数。

师（课件展示“3×12=36”）：这个算式有倍数和因数关系吗？

师：像这样，不管是除法算式还是乘法算式，我们都能发现各数之间的关系。原来每排个数和只要存在倍数和因数关系就可以了。懒羊羊说12是倍数，可以吗？

生：不行，他没有说是谁的倍数。

师：对，一定要说清楚是谁的倍数。

2.探索求一个数的倍数的方法

师：懒羊羊说15是3的倍数。为什么？

师：21是3的倍数吗？

师：都是3的倍数呀，3的倍数还有哪些，请写在作业纸上。

师：你们像比赛一样，一个比一个写得多呀。你有什么好办法写了这么多？

师：两位同学都找到了3的倍数，一个是用连续加3的方法，一个是用乘法，你觉得哪种方法比较简单？

师：写数的时候，一般写完前5个，就可以用省略号表示。

师（让学生比较有顺序地找2和5的倍数）：5要不要写？

生8：5是5的倍数。

生9：我写的是1的倍数。1，2，3，4，5……

师：所有的非零自然数都是1的倍数。

师：在写倍数的时候，有什么发现？

生10：一个数的倍数有最小的，没有最大的。

师（小结）：一个数的倍数最小是它本身，没有最大，并且一个数的倍数有无数个。

3.探索求一个数的因数的方法

师：一个数的因数是不是也有无数个？

（生独立完成并交流36的因数）

生11：36除以5没有。

生12：不是没有，是有余数。

生13：他能有顺序地说。

生14：通过一个算式可以得到一个数的两个因数。

生15：36除以6等于6，6也是36的因数。

师：6写几个？重复的只写1个。写的时候可以一对一对地写，也可以从两头开始写。（师生从两头一起写）找全了，用一个句号来表示。像这样有序地写一个数的因数，学会了吗？一起来说一说8的因数和9的因数。

师：你们在写一个数的因数的时候，有什么发现？也围绕最大、最小、个数这三个特征来找一找。

师：学到这，你知道了些什么呢？

■

三、新知运用

1.24个同学表演团体操，把队伍的排列情况填写完整。

■

师：排数和每排人数以及24是什么关系？

2.根据自己的学号，正确快速地做出判断。（拍照游戏）

（1）学号是7的倍数。

师：一个数的倍数应该是无限的，怎么人数是有限的呢？

生：因为班级里的人数是有限的。

（2）学号是7的因数。

学号是35号的学生走上讲台后发现不对：35是7的倍数，而不是因数。

（3）学号是1的因数。

师：好孤单啊，只有一个人。

生：1的因数是1，只有1。1是所有非零自然数的因数。

（4）学号是1的倍数。

剩下的学生兴奋地跑上讲台，集体拍照，活动结束。

整节课，学生对于知识的探索积极主动，对知识的理解正确深刻，听课老师给予评价：整节课简约而不简单！

（责编 金 铃）

在全国现代与经典的讲台上，我选择了“倍数和因数”这一教学内容作为课例，这是苏教版四年级下册的内容。一开始选这节课，是感觉这节课似乎不难上，而且前几年“数学王子”——张齐华老师上过这节课，有很多地方可以学习和借鉴。可等到自己备课，细细地研究教材时，才发现这节课其实不好上，不但知识点多，而且概念学生也比较难理解。试上了几次，都屡遭失败。于是我重新研究和思考，怎样才能让学生真正理解倍数和因数的含义，并以此为前提，让学生能够自然地掌握求一个数的倍数或因数的方法。

教材是通过让学生用12个同样大的正方形拼成一个长方形，引出三种不同的拼法，并让学生用乘法算式表示出这些拼法，然后结合其中的一道乘法算式，揭示倍数和因数的概念。一开始的试教，我正是按照这样的思路展开教学的，教学过程也比较顺利，接下来的模仿性练习，学生也能正确地说出谁是谁的倍数，谁是谁的因数。在模仿性练习后，为了帮助学生加深对概念的理解，我安排了几道“变式”和“反例”的讨论，当出示“13÷3=4……1”这个算式时，问题出现了：学生竟然也会依样画葫芦地说：“ 13是3的倍数，13也是4……1的倍数；3是13的因数，4……1也是13的因数。”可见，学生其实并没有真正把握概念的实质，只是从形式上学会了模仿着说说而已。

是什么原因导致了这种现象？我的第一感觉是可能学生没有动手操作，体验不深，才导致他们对于每排个数、排数和总数之间的关系不明确。所以再次试教时，我有意加入了让学生摆拼操作的活动，希望通过操作以及数形结合，帮助学生更好地理解倍数和因数的关系。但是课堂还是没有朝着我所设计的目标走下去，揭示概念之后，学生还是把所有注意力集中到了乘法算式上，并没有和之前的对摆拼活动的感受联系起来，关注的还是一些形式上的关系，在变式练习中仍然出现了上面类似的问题，并没有注意到倍数和因数的本质关系。

于是，我又重新反思：对于学生来说，倍数和因数之间究竟是怎样一种关系？两个数之间要形成倍数和因数的关系，其前提条件和实质又是什么？经过这样的思考，我猜测：学生只是知道了除法算式中可以找到倍数和因数，而不知道两个数之间要形成倍数和因数的关系其实质应该是“整除”，即其中的一个数去除以另一个数，商要是整数而没有余数。为了让学生清晰地理解这一概念的本质，我进行了这样的设计：先通过摆拼操作让学生初步体验小正方形总个数与每排个数之间的“整除”关系，再通过对除法算式的观察比较进一步明确总个数和每排个数之间的“整除”关系，最后再结合具体的图形和算式，揭示概念的定义。这样，就能使学生较好地把握概念的本质，并在此基础上学会形式上的表达。

同时，我也考虑，根据除法算式引出倍数和因数的概念是否恰当？因为根据除法算式引出倍数和约数才是比较顺当的，而倍数和因数，的确从乘法算式引出更加合理。而因数也好，约数也好，当它们和倍数组成一种相对关系时，其实质应该是相同的。因此，我做了如下的尝试。

一、创设情境

师：羊村里开会。12个同样大的正方形，怎样正好拼成一个长方形？大家说说你们是怎样排的。

生1：每排12个。（板贴：12÷1=12）

生2：每排4个。（板贴：12÷4=3）

生3：每排3个。（板贴：12÷3=4）

生4：每排2个。（板贴：12÷2=6）

生5：每排1个。（板贴：12÷1=12）

师：还有其他办法吗？懒羊羊提出，每排摆5个可以吗？

生6：不可以，每排5个，余了2个。

师：每排可以摆7个呀？

生6：不行，多了5个。

师：懒羊羊就很奇怪了，为什么喜洋洋说的都对，他说的就不行呢？到底每排数到底要符合怎样的条件，才可以正好拼出一个长方形。

生7：每排拼出来后，没有多出来的正方形。

师（揭题）：刚才像你们说的这些情况，在数学上可以用“倍数和因数”的关系来说。

二、认识倍数和因数

1.初步认识倍数和因数

师：12÷3=4中，12是4的倍数，4是12的因数。

师：你选择的是哪一个算式，同桌之间相互说一说。在说倍数和因数时，所说的数一般指不是0的自然数。

师（课件展示“36÷3=12”）：根据这个除法算式能想出另一个除法算式吗？

师（小结）：36是3的倍数，36也是12的倍数，3和12都是36的倍数。

师（课件展示“3×12=36”）：这个算式有倍数和因数关系吗？

师：像这样，不管是除法算式还是乘法算式，我们都能发现各数之间的关系。原来每排个数和只要存在倍数和因数关系就可以了。懒羊羊说12是倍数，可以吗？

生：不行，他没有说是谁的倍数。

师：对，一定要说清楚是谁的倍数。

2.探索求一个数的倍数的方法

师：懒羊羊说15是3的倍数。为什么？

师：21是3的倍数吗？

师：都是3的倍数呀，3的倍数还有哪些，请写在作业纸上。

师：你们像比赛一样，一个比一个写得多呀。你有什么好办法写了这么多？

师：两位同学都找到了3的倍数，一个是用连续加3的方法，一个是用乘法，你觉得哪种方法比较简单？

师：写数的时候，一般写完前5个，就可以用省略号表示。

师（让学生比较有顺序地找2和5的倍数）：5要不要写？

生8：5是5的倍数。

生9：我写的是1的倍数。1，2，3，4，5……

师：所有的非零自然数都是1的倍数。

师：在写倍数的时候，有什么发现？

生10：一个数的倍数有最小的，没有最大的。

师（小结）：一个数的倍数最小是它本身，没有最大，并且一个数的倍数有无数个。

3.探索求一个数的因数的方法

师：一个数的因数是不是也有无数个？

（生独立完成并交流36的因数）

生11：36除以5没有。

生12：不是没有，是有余数。

生13：他能有顺序地说。

生14：通过一个算式可以得到一个数的两个因数。

生15：36除以6等于6，6也是36的因数。

师：6写几个？重复的只写1个。写的时候可以一对一对地写，也可以从两头开始写。（师生从两头一起写）找全了，用一个句号来表示。像这样有序地写一个数的因数，学会了吗？一起来说一说8的因数和9的因数。

师：你们在写一个数的因数的时候，有什么发现？也围绕最大、最小、个数这三个特征来找一找。

师：学到这，你知道了些什么呢？

■

三、新知运用

1.24个同学表演团体操，把队伍的排列情况填写完整。

■

师：排数和每排人数以及24是什么关系？

2.根据自己的学号，正确快速地做出判断。（拍照游戏）

（1）学号是7的倍数。

师：一个数的倍数应该是无限的，怎么人数是有限的呢？

生：因为班级里的人数是有限的。

（2）学号是7的因数。

学号是35号的学生走上讲台后发现不对：35是7的倍数，而不是因数。

（3）学号是1的因数。

师：好孤单啊，只有一个人。

生：1的因数是1，只有1。1是所有非零自然数的因数。

（4）学号是1的倍数。

剩下的学生兴奋地跑上讲台，集体拍照，活动结束。

整节课，学生对于知识的探索积极主动，对知识的理解正确深刻，听课老师给予评价：整节课简约而不简单！

（责编 金 铃）