SWBR0-代数的蕴涵理想及其诱导的商代数

汪 宁, 吴洪博

(陕西师范大学 数学与信息科学学院, 西安 710062)

随着模糊命题逻辑系统的发展, 各种模糊逻辑代数相继出现. 吴望名[1]提出了Fuzzy蕴涵代数(简称FI代数), 并讨论了正则FI代数和HFI代数. 徐扬[2]将格与蕴涵代数结合在一起, 建立了格蕴涵代数. 王国俊[3]提出了模糊命题演算的形式演绎系统L*, 建立了R0-代数[4-5]. Hjek[6]提出了BL-逻辑代数. Esteva等[7]提出了另一种形式系统MTL, 并且提出了相应的MTL-代数. 吴洪博[8]提出了基础R0-代数(BR0-代数), 通过对BR0-代数的研究, 给出了BR0-代数的一种无序表示形式, 并将这种无序表示形式进行弱化, 提出了WBR0-代数[9]. 程国胜[10]引入了R0-代数的滤子和理想.文献[11]讨论了WBR0-代数的正则性与其他逻辑代数的关系; 文献[12]研究了Fuzzy商代数与同态基本定理. 本文基于WBR0-代数的结构特征, 通过将其正则性条件弱化, 建立了SWBR0-代数, 并在此基础上提出了SWBR0-代数蕴涵理想的概念, 讨论了由蕴涵理想诱导的商代数, 研究了其基本性质,得到了SWBR0-代数的同态基本定理.

1 SWBR0-代数及基本性质

在WBR0-代数[9]定义中, 条件(b→0)→(a→0)=a→b体现了该代数结构的正则性[11]. 因为正则性要求特别强, 例如BL-代数、 MTL-代数、 Heyting代数等逻辑代数均不满足正则性质, 因此, 当考虑WBR0-代数更广泛的应用时, 需要将正则性质进行弱化或删除. 本文先将WBR0-代数中的正则性条件(b→0)→(a→0)=a→b进行删除, 提出了SWBR0-代数的概念.

定义1一个(2,2,0,0)型代数(M,(⊕,→,0,1))称为SWBR0-代数是指∀a,b,c∈M, 下列条件成立:

(S1)a⊕0=a;

(S2)a⊕b=b⊕a;

(S3)a→(b→c)=b→(a→c);

(S4) (b→c)→((a→b)→(a→c))=1;

(S5)a→(a⊕b)=1;

(S6) (a⊕b)→c=(((a→c)→0)⊕((b→c)→0))→0;

(S7) 1→a=a;

(S8) 若a→b=1,b→a=1, 则a=b.

根据文献[9]知, SWBR0-代数(M,(⊕,→,0,1))是WBR0-代数当且仅当: ∀a,b∈M, 下列条件成立:

(S9)a→b=(b→0)→(a→0).

性质1设M是SWBR0-代数, ∀a∈M, 则有:

1) 0→a=1;

2)a→1=1;

3)a→a=1;

4)a→((a→0)→0)=1;

5)a→0=((a→0)→0)→0.

证明: 1) 由文献[9]知, 0→a=1成立.

2) 由(S3),(S4)得(0→1)→((1→a)→(0→a))=1, 再结合1)和(S7)得1=1→(a→1)=a→1, 即a→1=1.

3) 由(S1),(S5)得a→a=a→(a⊕0)=1.

4) 由(S3)和3)得a→((a→0)→0)=(a→0)→(a→0)=1.

5) 由4)得a→((a→0)→0)=1, 结合(S4)得(a→((a→0)→0))→((((a→0)→0)→0)→(a→0))=1. 由(S7)得(((a→0)→0)→0)→(a→0)=1. 又由4)得(a→0)→(((a→0)→0)→0)=1, 则由(S8)得a→0=((a→0)→0)→0.

命题1设M是SWBR0-代数, 定义关系≤: ∀a,b∈M,a≤b当且仅当a→b=1, 则:

1) ≤是M上的偏序关系;

2) 0,1分别是M中的最小元和最大元;

3) ∀a,b,c∈M, 若a≤b, 则c→a≤c→b,b→c≤a→c;

4) ∀a,b∈M, 则a⊕b是a和b的上确界.

证明: 1),3),4)在NBR0-代数或WBR0-代数中已证明, 但证明过程并未涉及(S9)[9], 再结合SWBR0-代数的定义知, 结论成立.

2) 由1)及性质1中1),2)知, 结论成立.

2 SWBR0-代数的蕴涵理想

定义2设M是SWBR0-代数,D是M的一个子集, 若∀x,y∈M, 下列条件成立, 则称D为M上的一个蕴涵理想:

1) 0∈D;

2) 若y∈D, (x→y)→0∈D, 则x∈D.

图1 格MFig.1 Lattice M

图2 →运算Fig.2 Implication operator

由文献[13]知,M是一个SWBR0-代数. 令D={0,a,b}, 则容易验证D是M的蕴涵理想.

命题2设M是SWBR0-代数,D是M的一个蕴涵理想, 则:

1) 若y∈D,x≤y, 则x∈D;

2) 若(x→0)→0∈D, 则x∈D;

3) 若x→y∈D, 则y∈D;

证明: 1) 由x≤y得x→y=1, 从而由(S7)得(x→y)→0=1→0=0∈D, 又y∈D, 所以x∈D.

2) 由定义2知,x∈D.

3) 由(S3)和性质1中2),3)知,y→(x→y)=x→(y→y)=1, 则y≤x→y. 又x→y∈D, 由1)知,y∈D.

定理1设M是SWBR0-代数,D是M的一个非空集合, 则下列条件等价:

1)D是M的蕴涵理想;

2) ∀x,y,z∈M, 若x∈D,y∈D, 且y≥(z→x)→0, 则z∈D.

证明: 1)⟹2). 因为y∈D, (z→x)→0≤y, 所以由命题2中1)知, (z→x)→0∈D. 又x∈D, 则由定义2知,z∈D.

2)⟹1). ① 因为D≠Ø, 所以∃x∈D. 由命题1中2)知,x≥0. 又由性质1中1)和(S7)知, (0→x)→0=1→0=0, 则x≥(0→x)→0, 故由2)知, 0∈D.

② 设w∈D, (v→w)→0∈D. 因为(v→w)→0≥(v→w)→0, 所以由2)知,v∈D.

定义3设M是SWBR0-代数, 如果～满足下列条件, 则称～是M上的同余关系:

1) ～是等价关系;

2) ～被M上的运算→,⊕所保持, 即∀x,y,z,w∈M, 若x～y,z～w, 则x→z～y→w,x⊕z～y⊕w.

命题3设～是SWBR0-代数M上的同余关系, 则D～={a∈Ma～0}是M上的蕴涵理想.

证明: 1) 因为0～0, 所以0∈D～.

2) 设y∈D～, (x→y)→0∈D～, 则y～0, (x→y)→0～0. 由～是同余关系,x～x,0～0得

y→0～0→0=1,x→((x→y)→0)～x→0,

由(S3)得(x→y)→(x→0)～x→0, 由(S4)得(y→0)→((x→y)→(x→0))=1, 结合y→0～1, 得

(y→0)→((x→y)→(x→0))～1→(x→0),

即x→0～1, 所以(x→0)→0～1→0=0.

又由性质1中4)得x→((x→0)→0)=1, 则x≤(x→0)→0, 从而

(x→0)→0=((x→0)→0)⊕x～0⊕x=x,

所以(x→0)→0～x, 进而由(x→0)→0～0得x～0, 即x∈D～. 故D～是M上的蕴涵理想.

引理1设M是SWBR0-代数,D是M的一个蕴涵理想, 定义x～Dy当且仅当(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D(x,y∈M), 则～D是M上的等价关系.

证明: ∀x,y,z∈M, 分下列几种情况证明:

1) 由性质1中3)和(S7)得(x→x)→0=0∈D, 则x～Dx.

2) 若x～Dy, 则(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D, 即(y→x)→0∈D, (x→y)→0∈D, 故y～Dx.

3) 若x～Dy,y～Dz, 则(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D, 且(y→z)→0∈D, (z→y)→0∈D. 由(S3),(S4)得(x→y)→((y→z)→(x→z))=1, 则

((x→y)→((y→z)→(x→z)))→((((y→z)→(x→z))→0)→((x→y)→0))=1.

结合(S7)得

(((y→z)→(x→z))→0)→((x→y)→0)=1,

则

((((y→z)→(x→z))→0)→((x→y)→0))→0=1→0=0∈D.

又(x→y)→0∈D, 则((y→z)→(x→z))→0∈D.

令A=(y→z)→(x→z),B=(x→z)→0,C=(y→z)→0, 则A→0∈D,C∈D. 又由(S3),(S4)得

A→(B→C)=1, (A→(B→C))→(((B→C)→0)→(A→0))=1,

从而由(S7)得((B→C)→0)→(A→0)=1, 于是

(((B→C)→0)→(A→0))→0=1→0=0∈D.

又A→0∈D, 所以(B→C)→0∈D. 因为C∈D, 所以B∈D, 即(x→z)→0∈D.

同理可证(z→x)→0∈D. 故x～Dz. 所以～D是M上的等价关系.

定理2设M是SWBR0-代数,D是M的一个蕴涵理想, 定义x～Dy当且仅当(x→y)→0∈D,(y→x)→0∈D(x,y∈M), 则～D是M上的同余关系.

证明: 由引理1知, ～D是M上的等价关系. 只需证明～D被⊕,→所保持.

1) 设x～Dy,z～Dw, 下证x⊕z～Dy⊕w.

因为x～Dy, 则(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D. 又由命题1中3)得(x→(y⊕z))→0≤(x→y)→0, 由命题2中1)知, (x→(y⊕z))→0∈D. 因为

故由性质1中5)知, (((x→(y⊕z))→0)→0)→0∈D, 即((x⊕z)→(y⊕z))→0∈D. 同理可证((y⊕z)→(x⊕z))→0∈D. 则x⊕z～Dy⊕z.

因为z～Dw,y～Dy, 同理可得z⊕y～Dw⊕y. 又z⊕y=y⊕z,w⊕y=y⊕w, 所以由～D的传递性知,

x⊕z～Dy⊕z～Dz⊕y～Dw⊕y～Dy⊕w,

即x⊕z～Dy⊕w.

2) 设x～Dy,z～Dw, 下证x→z～Dy→w.

因为x～Dy,z～Dz, 所以(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D. 由引理1的证明3)得

((y→z)→(x→z))→0∈D.

同理可得((x→z)→(y→z))→0∈D. 则x→z～Dy→z. 又z～Dw,y～Dy, 类似可证y→z～Dy→w. 由～D的传递性可知,x→z～Dy→w.

综上可知, ～D是M上的同余关系.

3 基于蕴涵理想的SWBR0-代数的商代数

设D是SWBR0-代数的一个蕴涵理想, 定义x～Dy当且仅当(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D, 由引理1知, ～D是M上的等价关系. 设x所在的等价类为[x](x∈M), 全体等价类记为M/～D. 由定理2知, ～D是M上的关于运算→,⊕的同余关系, 从而可得到M/～D上的诱导运算→,⊕. 它们的定义分别为

→: (M/～D)2→M/～D: [x]→[y]=[x→y] ([x],[y]∈M/～D);

⊕: (M/～D)2→M/～D: [x]⊕[y]=[x⊕y] ([x],[y]∈M/～D),

(M/～D,⊕,→,[0],[1])称为M关于～D的商代数, 记作M/D.

定理3设D是SWBR0-代数的一个蕴涵理想, 则M/D是SWBR0-代数.

证明: ∀[a],[b],[c]∈M/D, 有:

1) [a]⊕[0]=[a⊕0]=[a];

2) [a]⊕[b]=[a⊕b]=[b⊕a]=[b]⊕[a], 即[a]⊕[b]=[b]⊕[a];

3) 因为[a]→([b]→[c])=[a]→[b→c]=[a→(b→c)]=[b→(a→c)],

[b]→([a]→[c])=[b]→[a→c]=[b→(a→c)],

所以[a]→([b]→[c])=[b]→([a]→[c]);

4) ([b]→[c])→ (([a]→[b])→([a]→[c]))=[b→c]→([a→b]→[a→c])=

[b→c]→[(a→b)→(a→c)]=[(b→c)→((a→b)→(a→c))]=[1];

5) [a]→([a]⊕[b])=[a]→[a⊕b]=[a→(a⊕b)]=[1];

6) ([a]⊕[b])→[c]= [(a⊕b)→c]=[(((a→c)→0)⊕((b→c)→0))→0]=

([(a→c)→0]⊕[(b→c)→0])→[0]=

(([a→c]→[0])⊕([b→c]→[0]))→[0]=

((([a]→[c])→[0])⊕(([b]→[c])→[0]))→[0];

7) [1]→[a]=[1→a]=[a];

8) 设[a]→[b]=[1], [b]→[a]=[1], 则[a→b]=[b→a]=[1], 即a→b～D1,b→a～D1. 因此(a→b)→0～D1→0=0, 所以(((a→b)→0)→0)→0∈D. 结合性质1中5)知, (a→b)→0∈D.

同理可证(b→a)→0∈D. 所以a～Db, 即[a]=[b].

综上,M/D是一个SWBR0-代数.

定理4设M是SWBR0-代数, 则典型映射p:M→M/D是满同态.

证明: 典型映射[4]p:M→M/D的定义为p(x)=[x],x∈M. 因为p(M)=[M]=M/～D, 所以p是满射. ∀x,y∈M, 有

p(x→y)=[x→y]=[x]→[y]=p(x)→p(y),

p(x⊕y)=[x⊕y]=[x]⊕[y]=p(x)⊕p(y),

故p是M→M/D的满同态.

定理5设Y,Z是SWBR0-代数,f是Y到Z的代数同态,D,D′分别是Y,Z的蕴涵理想, 若f(D)⊆D′, 则存在代数同态f*:Y/D→Z/D′.

证明: 定义f*:Y/D→Z/D′. ∀y∈Y,f*([y])=[f(y)].

下面说明f*定义的合理性. ∀y1,y2∈Y, 若[y1]=[y2], 即y1～Dy2, 则(y1→y2)→0∈D, (y2→y1)→0∈D, 从而有

f((y1→y2)→0)∈f(D)⊆D′,f((y2→y1)→0)∈f(D)⊆D′,

于是

(f(y1)→f(y2))→0∈D′, (f(y2)→f(y1))→0∈D′,

所以f(y1)～D′f(y2), 即[f(y1)]=[f(y2)]. 故f*的定义是合理的.

∀y1,y2∈Y, 有

f*([y1]→[y2])=f*([y1→y2])=[f(y1→y2)]=[f(y1)]→[f(y2)]=f*([y1])→f*([y2]),

f*([y1]⊕[y2])=f*([y1⊕y2])=[f(y1⊕y2)]=[f(y1)]⊕[f(y2)]=f*([y1])⊕f*([y2]),

则f*是Y/D→Z/D′的同态.

定理6设(X,⊕,→,0,1), (Y,⊕′,→′,0,1)是SWBR0-代数,f:X到Y的满同态, 则Kerf={xf(x)=0,x∈X}是X的蕴涵理想, 且X/Kerf≅Y.

证明: 因为f(0)=0, 所以0∈Kerf. 若y∈Kerf, (x→y)→0∈Kerf, 则f(y)=0,f((x→y)→0)=0, 从而有(f(x)→f(y))→f(0)=0, 即(f(x)→0)→0=0, 又f(x)≤(f(x)→0)→0, 于是f(x)≤0, 因为f(x)≥0, 所以f(x)=0, 即x∈Kerf, 故Kerf是X的蕴涵理想.

设g是X→X/Kerf的映射, 由定理4知,g是满同态. 定义h:X/Kerf→Y, ∀x∈X,h([x])=f(x). ∀x,y∈X,x～y当且仅当(x→y)→0∈Kerf, (y→x)→0∈Kerf, 当且仅当(f(x)→f(y))→0=0, (f(y)→f(x))→0=0. 因此x～y当且仅当f(x)～f(y). 从而h的定义是合理的.

因为f是满射, 所以h是满射. ∀x,y∈X, 若f(x)=f(y), 则f(x)～f(y), 从而x～y, 即[x]=[y], 则f是单射, 所以f是双射.

∀x,y∈X, 有

h([x]→[y])=h[x→y]=f(x→y)=f(x)→′f(y)=h([x])→′h([y]),

h([x]⊕[y])=h[x⊕y]=f(x⊕y)=f(x)⊕′f(y)=h([x])⊕′h([y]),

所以f是同构. 故X/Kerf≅Y.

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