热力学关系式的一种简易记忆方法

鄂 青，许俊俊

（1.武汉工程大学理学院，湖北 武汉 430074；2.广东工业大学材料与能源学院，广东 广州 510006）

0 引 言

依据热力学第一定律和第二定律建立的热力学一般关系，揭示了各种热力参数间的内在联系，对工质热力性质的理论研究与实验测试都有重要意义.麦克斯韦关系式是热力学中一个重要的内容，它给出了比熵（s）、热力学温度（T）、比体积（v）和压力（p）这四个变量偏导数之间的关系，是推导熵、热力学能、焓及比热容的热力学一般关系式的基础，提供了一组可测量和不可测量或难测量之间的转换关系.

这些关系式常以偏微分的形式表示，故亦称热力学的微分关系式.它涉及四个热力学基本方程式、四个麦克斯韦关系式和八个状态参数的表示方法，形式十分相近，记忆时容易引起混乱，给使用人员带来不便［1－3］.本文提出一种图形记忆方法，这种方法只有一个简单的记忆图，利用不同的规则可以很快的写出全部关系式.本记忆方法使用的记忆图简单易记；使用的规则清楚易懂；可以一张图记住全部的热力学微分关系，准确高效，使用方便.

1 记忆图

该记忆方法和已有的一些记忆方法最大的不同是，它只有一张记忆图，简单明了，方便记忆和使用.可通过不同的使用规则来记忆这些复杂的热力学微分关系式.该记忆图如图1所示.

图1 记忆图Fig.1 Mnemonic diagram

该记忆图的组成：

a.绘制图1所示的3×3的表格.将T、－s填写在第一行的第二、三列，将－p、v填写在第一列的第二、三行.

b.以图中倒“U”字形箭头的指向为路线，按照字母表的顺序排列四个状态参数（比亥姆霍兹函数f→比吉布斯函数g→比焓h→比热力学能u），依次写在该表格的对应位置.

2 使用方法

2.1 基本热力学关系式

根据热力学第一定律解析式，可以推导出简单可压缩工质在可逆变化过程中的能量平衡表达式，并通过勒让德（Legendre）变换可得到以下四个热力学基本关系式：

记忆需借助图2所示的基本热力学关系式推导图，以式（1）为例，可概括出记忆方法为：

①u所在的位置的横纵坐标为（s，v），则以s和v为求导对象写成ds＋dv；此处注意，写坐标时应省去参数所带的“－”.

②分别乘以“同伴”即同行或同列对应的参数，写成Tds＋（－p）dv，便可很容易的得到：du＝Tds－pdv.

以此类推，便可得到其他几个关系式.

图2 基本热力学关系式推导Fig.2 Deduction of the basic thermodynamic relations

2.2 麦克斯韦关系

已知上述四个热力学基本关系式，利用全微分的性质，从每一个方程中便可得到一个麦克斯韦关系，即：

其中常用的是式（7）和式（8），它们给出了不可测的熵参数和容易测得的参数p、v、T之间的微分关系.

记忆需借助图3所示的麦克斯韦关系式推导图，以麦克斯韦关系式（6）为例，可概括出记忆方法为：

②判断两箭头线是否交叉.若不交叉取正号“＋”，若交叉取负号“－”.本例中，两箭头线不交叉，因此取正号.写成的形式.

③以对侧分母偏导对象为本侧不变量作为下标.本例中，右侧分母偏导对象为s，因此左侧写成；同理，左侧分母偏导对象为p，故右侧写成，即可得出式（6）.

图3 麦克斯韦关系推导Fig.3 Deduction of the Maxwell relations

以此类推，按照这种法则很容易得到其他几个麦克斯韦关系.

2.3 八个重要的一阶偏微商关系

由基本热力学关系还可以导出以下八个重要的一阶偏微商关系式，它们把状态参数的偏导数与常用状态参数联系起来：

记忆需借助图4所示的一阶偏微商关系推导规则，以式（9）为例.

①写T的表达式的时候，应该取其相邻的列的参数，即h或u的偏微分作为分子；以“同伴”即s的偏微分作为分母，写成（）或（）的形式.②以分子所对应的行坐标项作为下标，即（）的下标为p，（）的下标为v，即得：

其它几个一阶偏微商关系的记忆方法可以以此类推.

在使用此规则时应该注意以下几点：①若是求p和v的表达式，分子则应该取相邻行的参数.②这里取偏导时不带入s和p前面的“－”.③在写和的表达式时应该写成“－s”和“－p”的表达式.

图4 一阶偏微商关系推导Fig.4 Deduction of the first order partial derivative relations

3 结 语

采用记忆图的记忆法使用方便，能同时记住热力学各种微分关系式.此外，这种记忆法简单易懂，记忆准确.利用这种记忆方法可以避免产生混乱，减轻记忆工作量，可以极大的提高学习和运用热力学一般关系式的效率.

［1］陈平生.麦克斯韦关系实用记忆法［J］.黄淮学刊，1989（2）：79－77.

［2］曹海静，田冰涛.热力学麦克斯韦关系的简便记忆方法［J］.科技资讯，2012（21）：203.

［3］杨庆怡，孙公洛.热力学关系的记忆方法［J］.湖北汽车工业学院学报，1991（1／2）：110－111.Yang Qing－yi，Sun Gong－luo.A Memory Method of Thermodynamical Relation［J］.Journal of Hubei Automotive Industries Institute，1991（1／2）：110－111.（in Chinese）