半空间夹杂物对弹性波散射的有限元法求解

邵争平 李大广

(1.新疆地质工程勘察院，新疆乌鲁木齐 830000;2.天津农学院，天津 300000)

0 引言

近些年来，随着国民经济的快速发展，新一代核电站、机场、高速铁路、大跨度空间结构等大型重要工程项目不断涌现。由于我国多数地区位于6度以上地震设防区域，大型土木工程结构的抗震安全性引起了学术界和工程界的广泛关注。而结构抗震设计的关键是确定合理的地震动输入。研究地下弹性夹杂对弹性波的散射对于场地地震动参数的合理确定具有重要意义。为了满足理论和工程上的需要，多年来人们在这方面做了大量的研究，取得了许多有价值的成果。综合文献来看其研究方法主要有两种，一种是解析法［1-4］，另外一种是数值法，包括有限元法、有限差分法、混合方法等。

本文拟采用波动有限元方法［4］，结合粘弹性人工边界，求解弹性半空间中夹杂物对入射P波的散射。通过参数分析，研究均匀半空间中弹性夹杂对弹性波散射的基本规律。

1 计算模型

图1为半空间中任意弹性夹杂对弹性波散射的整体计算模型。考虑实际问题的复杂性，采用动力有限单元法对该问题进行求解研究。为便于分析整体反应本质规律，把握问题的关键因素，暂限于二维分析。假设平面波从半空间入射，弹性夹杂截面沿z轴方向不变，整体反应处于平面应变状态。首先进行均匀半空间自由场分析，然后进行波场分离，对散射场(外行波)引入粘弹性人工边界，通过对动力平衡方程的离散求解得到总波场。夹杂物和半空间介质的有限单元离散如图1所示，考虑到夹杂周围波场比较复杂和应力集中，对该区域进行了单元细化。

图1 半空间中弹性夹杂有限元离散图

2 计算方法

整体运动方程的有限元格式为:

其中，［M］，［C］，［K］分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;{¨u}，{˙u}，{u}分别为节点的加速度、速度和位移向量，体系上施加的外力为P(t)。

在任何给定的时间t，这些方程被认为一系列考虑了惯性力和阻尼的静态方程。用步长积分的方法计算出整个时间段的地震反应。

逐步积分法基于增量动平衡方程，其推导过程如下。

结构体系在时间t时的动平衡方程为:

在时间t+Δt时的动平衡方程为:

假设子步内加速度线性变化，由式(3)减去式(2)即得增量动平衡方程:

在增量动力平衡方程中，假定［K］t和［C］t在时间间隔(t，t+Δt)中为常量，［M］不随时间变化。

3 算例与分析

针对半空间中夹杂物对平面P波的散射问题，下面通过数值计算，进行参数分析。平面P波的竖向入射角度(与y轴夹角)为θα。假定入射波随时间为简谐变化。首先定义无量纲频率:η=2a/λβ。该参数表示夹杂物直径同剪切波波长的比值。图2给出了不同频率、不同角度P波入射情况下，夹杂物上方地表位移幅值。参数取值:夹杂物埋深d/a=1.5，夹杂物内外剪切模量比值μ2/μ1=1/6，密度比 ρ2/ρ1=2/3，泊松比均取为 1/3。入射波角度分别取:θα=0°，30°，60°，入射波频率分别取 η =1.0，1.5 和 2.0。可以看出，随着入射角度变化，地表位移反应特征差异很大。而竖向位移峰值一般出现在波垂直入射情况。θα=60°情况，水平位移幅值较大。随着入射角度增大，当接近水平入射时，地表位移反应很小，夹杂物对平面波的散射效应也很微弱。随着入射波频率增大，地表位移振荡更为剧烈，散射作用也更为明显。

图2 不同频率平面P波入射下地表位移幅值（软夹杂）

图3 不同频率平面P波入射下地表位移幅值（硬夹杂）

图3 针对硬夹杂物情况，给出了不同频率、角度P波入射情况下，夹杂物附近地表位移幅值。参数取值:夹杂物埋深d/a=1.5，夹杂物内外剪切模量比值 μ2/μ1=6/1，密度比 ρ2/ρ1=3/2，泊松比均取为1/3。如图3所示，硬夹杂对平面波的散射同软夹杂情况有显著的差异，一般在夹杂正上方位移幅值较小。但需要注意的是在夹杂直径区域之外，由于散射波的影响，会出现位移放大效应。另外，还可以看出，随着入射波频率增大，夹杂正上方位移振荡较平缓，而夹杂区域外部，则振荡较为剧烈。

4 结语

结合粘弹性人工边界，利用波动有限单元法，求解了弹性半空间中弹性夹杂对弹性波的二维散射。本文主要分析了夹杂物对附近地面运动的影响，分析入射波频率和角度等因素对附近地面运动的影响。研究表明:半空间中弹性夹杂对弹性波的散射同全空间情况存在很大差别。弹性夹杂对附近位移幅值有着显著的影响，但影响规律随着介质软硬程度发生较大变化。软夹杂上方的位移放大比较明显;随入射角度变化，地表位移反应特征差异很大。P波入射时，竖向位移峰值一般出现在垂直入射情况。随着入射角度增大，当接近水平入射时，地表位移反应很小，夹杂物对平面波的散射效应也很微弱。入射波频率对位移反应影响较大。

［1］李宏亮，刘殿魁.SH波作用下圆形夹杂与裂纹的相互作用［J］.哈尔滨工程大学学报，2004，25(5):618-622.

［2］刘殿魁，田家勇.SH波对界面圆柱形弹性夹杂散射及动应力集中［J］.爆炸与冲击，1999，19(2):115-123.

［3］袁晓铭.地表下圆形夹塞区出平面散射对地面运动的影响［J］.地球物理学报，1996，39(3):373-381.

［4］廖振鹏.工程波动理论导引［M］.北京:科学出版社，1999.