数列错位相减法求和新探

陈胜华

摘 要：错位相减法适用范围明确，解法步骤简单，思维也很清楚，学生容易理解，可实际操作中他们却屡用屡错。现通过对错位相减法应用构造等差数列、等比数列，导数求和等另类解法的探讨，体会数列求通项、求和的思想。

关键词：通项公式；数列求和；构造；等差數列；等比数列

苏教版必修5第56页探究拓展题为：求和：Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1.

教参解答为错位相减法：

方法一：即（1）当x=1时，Sn=1+2+3+…+n=，

（2）当x≠1时，Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，xSn=x+2x2+3x3+…+nxn，（1-x）Sn=1+x+x2+x3+…+xn-1-nxn=-nxn.

Sn=-故Sn=（x=1）

-（x≠1）

这就是“错位相减法”的问题，即：若an为等差数列，bn为等比数列，对于Sn=a1b1+a2b2+…anbn的求和问题。错位相减法适用范围明确，解法步骤简单，思维也很清楚，学生容易理解，可实际操作中他们却屡用屡错。通过对错位相减法应用构造等差数列、等比数列，导数求和等另类解法的探讨，体会数列求通项、求和的思想。

现对x≠1时应用其他方法

方法二：由a1=1，通项公式an=Sn-Sn-1=nxn-1（n≥2）构造

等差数列Sn-（An+B）xn=Sn-1+（A（n-1）+B）xn-1，

即Sn+n+xn=Sn-1+（n-1）+xn-1，

又S1++x=1++x=+，

故Sn=+-n+xn=++=

-+.

在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，我们就可以用相应的方法求和。

（作者单位 广东省深圳市松岗中学）