一维FDTD（时域有限差分）算法求解电磁带隙结构

温素燕

摘 要：由两种介质在一维方向上周期性交叠可以构成电磁带隙结构，利用一维时域有限差分算法求解电磁带隙结构的透射系数和反射系数，得到电磁带隙结的电磁波传播禁带.计算结果表明，一维FDTD算法在数值求解复杂电磁结构的电磁波反射和透射问题非常有效。

关键词：电磁带隙结构；FDTD（时域有限差分）算法；带阻滤波器

时域有限差分（FDTD）是一种有效的电磁场数值计算方.其特点主要有：所需要的计算内存空间与运行时间只与计算空间的网格数成正比；可以模拟电磁波在复杂的介质结构中传播；通过电磁脉冲源激励，一次计算可以获得复杂介质结构较宽的频谱信息等.本文构造一种由介质平板和空气平板交迭成的标准电磁带隙结构，并利用一维FDTD算法模拟了其时域上的透射波形和反射波形，并经过离散付里叶变换得到对应频域上的透射系数和反射系数，从而可以观察到电磁带隙结构的电磁传播阻带.

一、FDTD数值算法

针对非磁性介质的无源Maxwell方程为？塄×E=μ0 （1），？塄×H=ε （2）

其中，E为电场强度，H为磁场强度，μ0为真空磁导率，ε为介质或空气介电常数.在一维问题中，假设电磁场分量及介电常数只与传播方向z有关，即 = =0.因此，上面的方程组可以简化为 =- （3）， =- （4） = （5）， =- （6）可以看到，方程（3）和（4）耦合在一起，（5）和（6）耦合在一起.选择其中一组方程构成横电磁波（TEM）沿z轴方向传播，并采用中心差分方式离散方程（3）和（4），可以得到差分方程组：Hn+0.5y（k）=Hn-0.5y（k）- [Enx（k+1）-Hny（k）]（7）En+1x（k）=Enx（k）- [Hn+0.5y（k）-Hn+0.5y（k-1）]（8）式中Δt为计算时间步长，Δz为空间步长，二者需满足的数值稳定条件为：Δt≤ ，其中，V= 为电磁波在介质中的最大传播速度.激励源选择微分高斯脉冲：E（t）=A（？子-t0）exp- （9）式中？子为常数，其取值越小，微分高斯脉冲的中心频率越大.

二、计算模型与结果

考虑由介电常数为9.0的介质平板和空气平板（介电常数近似为1.0）沿z轴方向周期性交叠构成的一维电磁带隙结构，其中介质平板共10层，空气平板共9层.假定电磁带隙结构的电磁传播阻带中心工作波为λ0=0.18m（频率约为f0=1.67GHz）.标准电磁带隙结构的中的周期单元结构的波程设定为0.5λ0，并假定介质平板和空气平板的波程相等，即均为0.25λ0.时域有限差分数值计算的网格划分为：介质平板占据20个网格，空气平板占据60个网格.为了模拟电磁带隙结构在真空中的电磁特性，计算空间两端设置了完美匹配层（PML），分别占据5网格，整个FDTD计算区域占766网格.计算空间步长为Δz=7.5×10-3 m，时间步长为Δt=1.25×10-12 m，整个迭代计算时间为25000步.

从频域透射系数和反射系数可以看到，在以中心工作波长/频率处出现了电磁传播禁带，从而验证了标准电磁带隙结构的以中心中工作波长为中心的频率带阻电磁特性.

本文采用一维FDTD（时域有限差分）算法计算了標准电磁带隙结构的电磁阻带特性.数值计算结果与标准电磁带隙结构相吻合，从而证实了一维FDTD（时域有限差分）算法在计算电磁带隙结构等复杂多层结构电磁特性的有效性.

参考文献：

[1]YeeKS.Numerical solution of initial boundary value problem sinvo lving Max well equation sinisotro picmedia[J].IEEET rans.Antennas Propa-gat，1966，AP-14（3）：302-307.

[2]葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分方法[M].西安电子科技大学出版社，2005.

（作者单位 湖北省利川市第一中学）