如何用SAS软件正确分析生物医学科研资料XXIV.结果变量为多值有序变量的高维列联表资料的统计分析与SAS软件实现（二）

鲍晓蕾，王小利，胡良平

对于结果变量为多值有序变量的高维列联表资料可使用cmH 校正的秩和检验或有序变量多重 logistic 回归分析等统计分析方法。在上一期中，我们已经详细介绍了CMH 校正的秩和检验。本期将详细介绍多值有序变量的logistic 回归分析。

1 原理

结果变量为多值有序变量的 logistic 回归又称为累计logistic 回归。累积 logistic 回归模型可视为二值变量logistic 回归的扩展，其回归模型可定义如下：

其中y* 表示观测现象的内在趋势，不能被直接测量；ε为误差项。当结果变量有J个可能的结局，相应的取值为y= 1、y= 2 ……y=J时，共有J– 1 个分界点将各相邻类别分开。即：

若y* ≤μ1，则y= 1；

若μ1

……

若y* >μJ–1，则y=J。

给定x值的累积概率可以按如下形式表示：

与二值变量的 logit变换相似，累积 logit 变换定义如下：

其中 1 –P(y≤j|x) 即为P(y≥j+ 1 |x)，这样就依次将J个可能的结局合并成两个，从而进行 logistic 回归分析。

相应地，累积概率可通过以下公式进行预测：

统计软件在实际运行中，定义β0j为各类中截距α与分界点μj的综合，所以上式就转化为：

值得注意的是，SPSS 和 SAS 在对累积 logistic 回归模型进行参数化时采用的形式是不同的，SPSS 软件中采用的线性形式是，这与式 ⑸ 相同，而 SAS 中采用的是，所以式 ⑸ 就转化为：

在使用不同软件时，应该注意回归系数符号的差别。

由上面的讨论可以看出，若结果变量有J个可能的结局，则可获得J– 1 个累积 logit 函数（当进行统计分析时，若有m个截距项β0j无统计学意义，则只能获得J–m– 1 个累积 logit 函数）。累积 logistic 回归模型对每一个累积 logit 函数各有一个不同的β0j估计，然而对所有的累积 logit 函数，变量xk却有一个相同的βk估计，因为其假设条件为自变量的作用与所有累积 logit 的截断点无关。在此假设条件下，不同累积对数发生比的回归线相互平行，只是截距参数有所不同。这被称为成比例发生比假设条件或平行线假设条件。

运用累积 logistic 回归模型首先需要对平行线假设条件进行检验。如果这一假设条件被拒绝，便说明自变量xk对不同的 logit 有不同的βk，因而说明累积 logistic 回归模型不适合，需要采用其他模型来进行资料的分析，如可在模型中引入二次项或交互项。

2 变量赋值

在 logistic 回归模型中，原因变量可以是连续型变量，也可以是二值变量、多值有序变量或多值名义变量。

如果原因变量是连续变量，一般不需要进行处理，可直接建立 logistic 回归模型。但有时根据专业知识需对其进行分级以获得更有实际意义的结果时，连续变量就转换成了有序变量，此时可按影响结果变量由小到大的顺序赋值为1、2 ……，并将它当作连续型变量处理或直接引入哑变量，建立 logistic 回归模型。比如在肺癌危险因素的病例-对照研究中，研究者往往感兴趣的是年龄每增加 5 岁（根据专业知识和试验目的决定）肺癌发病的危险性是基础状态时的多少倍，而年龄每增加 1 岁肺癌发病的危险性是基础年龄时的多少倍往往没有多大实际意义。

如果原因变量是二值变量，一般可按 0、1 赋值。

如果原因变量是多值名义变量，需引入哑变量（dummy variable），每个哑变量都是一个二值变量，所需哑变量的数目为多值名义变量的类别数减 1。如“血型”是一个多值名义变量，有 A、B、AB、O 四种，若以 O 型血为基准，需引入 3 个（4 – 1 = 3）哑变量来描述。令

则可得到下面的对应关系（表1）：

表1 用 3 个哑变量描述一个四值名义的血型变量

如果原因变量是多值有序变量，一般可按影响结果变量由小到大的顺序赋值为1、2 ……，并将它当作连续型变量处理，但这样做有时并不科学，因为该有序变量每上升或下降一个等级对结果变量的影响并非总是“线性”的。若遇到有序原因变量按连续变量处理所得回归效果不理想时，建议引入哑变量的方式来处理。

结果变量为多值有序变量，可按其程度或一般默认的顺序由小到大地赋值为1、2 ……。

【例 1】在一项临床试验中，研究病程与依沙酰胺疗效的关系。试验在三所医院中同时进行，具体疗效数据见表2，试对病程与治疗效果之间的关系进行分析。

表2 病程与依沙酰胺疗效的数据

SAS 程序如下，程序名为example3。

data example3;do a=1 to 3;do b=1 to 4;do c=1 to 3;input f@@;output;end; end; end;cards;24 10 3 10 4 2 35 26 10 10 8 4 25 12 3 11 4 2 30 22 8 10 10 5 20 8 2 10 4 1 20 17 5 12 10 6;run;ods html;proc logistic data=example3;class a b/param=ref;model c=a b/selection=stepwise;freq f;run;ods html close;

程序说明：首先建立数据集，程序中的 a 表示试验中心，a = 1 表示中心 1，a = 2 表示中心 2，a = 3 表示中心 3；b 表示病程，b = 1 表示 < 1 个月组，b = 2 表示 1～3 个月组，b = 3 表示 3 个月～5年组，b = 4表示 > 5年组；c 表示疗效，c = 1 表示治愈，c = 2 表示好转，c = 3 表示无效；变量 f 表示频数。调用 logistic 过程进行有序变量多重 logistic 回归分析。由于试验中心是多值名义变量，需对其赋哑变量；病程是多值有序变量，可将其当成连续型变量直接赋值，但最好是对其赋哑变量。若自变量是二值变量，则只需直接赋值 0、1 即可。class 语句可实现对自变量自动赋哑变量，同时还能保证哑变量在回归方程中同进同出。class a b 表示对 a、b 两个因素均自动赋哑变量。选项param = ref 指定将其中的一个水平作为基准实现哑变量赋值，默认以输入的该定性变量最后一个水平为基准。若想以其他水平为基准，比如希望以 a 的第一个水平为基准对因素 a 赋哑变量，则只需将语句改成 class a (ref = ‘1’)b/param = ref 即可。model 语句表示建模，等号前表示因变量，等号后表示自变量。选项 selection = stepwise 表示用逐步回归法进行变量筛选，其默认的进入和剔除方程的显著性水准为0.05；若希望改变这一标准，可在选项后加入 sle =xx 和 sls = xx 选项，前者指定进入方程的标准，后者指定剔除方程的标准，xx 表示具体的数值（0～1 之间）。freq f指定 f 变量为频数变量。

SAS 程序运行结果：

以上是通过 class 语句对因素 a 和因素 b 自动赋哑变量的结果。可以看到，两因素均以最后一个水平为基准。以 a 因素为例，哑变量 a1 表示 a 因素的第一个水平相对于第三个水平进行分析；哑变量 a2 表示 a 因素的第二个水平相对于第三个水平进行分析。b 因素的哑变量意义类似。

Summary of stepwise selection

以上为逐步筛选法的筛选结果，最终只有因素 b 进入了回归方程（χ2= 13.4863，P= 0.0037）。

Score test for the proportional odds assumption

以上为平行线假设的检验结果：χ2= 0.8909，P= 0.8276> 0.05，说明资料满足平行线假设。

Type 3 analysis of effects

以上是将因素 b 作为一个整体的假设检验结果：waldχ2= 13.5102，P= 0.0037 < 0.05，说明病程对疗效的影响有统计学意义。

Analysis of maximum likelihood estimates

以上为参数估计及假设检验的结果。本例结果变量有 3个水平，故模型包含 2 个截距项。若P1、P2和P3分别表示治愈、好转和无效发生的概率，则回归方程为：

Odds ratio estimates

以上是对优势比的估计结果：OR1vs4= 2.576，其 95%置信区间为（1.445，4.592）；OR2vs4= 2.473，其 95%置信区间为（1.205，5.072）；OR3vs4= 1.382，其 95%置信区间为（0.830，2.302）。

统计及专业结论：病程对疗效的影响有统计学意义（P= 0.0037 < 0.05），而试验中心对疗效的影响没有统计学意义。OR1vs4= 2.576，其 95%置信区间为（1.445，4.592），说明病程小于 1 个月的疗效是病程大于 5年疗效的2.576倍；OR2vs4= 2.473，其 95%置信区间为（1.205，5.072），说明病程为1～3 个月的疗效是病程大于 5年疗效的 2.473 倍；OR3vs4= 1.382，其 95%置信区间为（0.830，2.302），说明病程为3 个月～5年的疗效是病程大于 5年疗效的 1.382 倍。

[1]Hu LP.Statistics facing practical scientific issues -- (2) multi-factor designs and linear model analysis.Beijing: People’s Medical Publishing House, 2012:508-517.(in Chinese)胡良平.面向问题的统计学——(2)多因素设计与线性模型分析.北京: 人民卫生出版社, 2012:508-517.

[2]Hu LP.Medical statistics-analysis of quantitative and qualitative data applying the triple-type theory.Beijing: People’s Military Medical Press, 2009:363-375.(in Chinese)胡良平.医学统计学-运用三型理论分析定量与定性资料.北京:人民军医出版社, 2009:363-375.