Maxwell分布参数的最短置信区间研究

2021-12-07吴志超程义斌郭宝才

杭州师范大学学报(自然科学版) 2021年6期

吴志超，程义斌，孙波，郭宝才

(1. 浙江工商大学统计与数学学院，浙江杭州 310018； 2. 中国疾病预防控制中心环境与健康相关产品安全所，北京100021)

0 引言

总体参数的区间估计是统计推断的一个重要内容，已广泛应用于经济与生产实践.衡量置信区间的优良性有两个标准：置信水平和区间长度.给定置信水平，区间长度越短，参数估计精度就越高.传统的区间估计是按概率对称方法来选取的，即等尾置信区间.但对于偏态总体或偏态抽样分布而言，等尾置信区间长度显然不是最短的.有许多学者针对最短置信区间问题进行了相关研究.如文献[1-3]对正态总体方差的最短置信区间进行了比较详细的讨论.王秀丽[4]介绍了均匀分布区间长度的最短置信区间.徐美萍等[5]对Weibull分布中尺度参数的最短置信区间问题进行了研究.李广正[6]讨论了两正态总体方差比的最短置信区间问题.李云飞等[7]利用样本分位数来构造枢轴量，给出了双参数指数分布的等尾置信区间.

Maxwell分布是可靠性统计和实践中常见的寿命分布之一，制造行业、立式镗床的使用寿命等均遵循该偏态分布，在统计动力学中也有诸多应用.国内学者对这一问题的研究比较少.桂春燕[8]给出了Maxwell分布的一些特性，但没有讨论参数估计的问题.王晓红等[9]在文献[8]的基础上给出了Maxwell分布参数的极大似然估计和Bayes估计.文献[10-13]构建了统计质量控制图监控Maxwell分布尺度参数的变化.

就笔者所知，还没有文献讨论Maxwell分布参数的最短置信区间问题.本文将构建枢轴量来计算Maxwell分布尺度参数的最短置信区间，并与传统的等尾置信区间进行比较.最后用一个实例进行分析和说明.

1 Maxwell分布与枢轴量

若随机变量X的概率密度函数为

则称X服从参数为σ的Maxwell分布，记作X～Maxwell(σ).

引理1设X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，那么σ2的极大似然估计为

(1)

引理2设总体X～Maxwell(σ)，那么X2/2σ2服从形状参数为3/2、尺度参数为1的伽马分布，即X2/2σ2～Gamma(3/2,1).

(2)

即T的概率密度函数为

(3)

本文将T用作枢轴量来求解σ2的置信区间.

2 等尾与最短置信区间

设X1,X2,…,Xn为来自总体X～Maxwell(σ)的样本，若统计量L(X1,X2,…,Xn)和U(X1,X2,…,Xn)满足

P(L<σ2

(4)

则称(L,U)为σ2的置信水平为1-α的置信区间.因为

所以式(4)等价于

(5)

2.1 等尾置信区间

(6)

由于枢轴量T的分布并不对称，因此σ2的等尾置信区间长度不是最短的，从而精度也不是最高的.图1表示在不同的n下枢轴量T的图像.

图1 不同样本容量下枢轴量T的概率密度曲线Fig.1 Probability density curves of T under different values of n

2.2 最短置信区间

(7)

定理1设总体X服从Maxwell(σ)，X1,X2,…,Xn为来自该总体的样本，条件极值问题(7)中的a,b应满足下列方程：

(8)

证明利用拉格朗日数乘法，令

H(a,b,λ)=1/a-1/b+λ[FT(b)-FT(a)-1+α]，

对a,b分别求偏导数并令其为0，有

于是

a2fT(a)=b2fT(b)=-1/λ.

(9)

将枢轴量T的概率密度函数fT(t)代入式(9),化简得a1+3n/2e-a=b1+3n/2e-b，因此结论成立.

3 最短置信区间存在性和唯一性证明

3.1 最短置信区间的存在性证明

定理2Maxwell分布参数的最短置信区间存在.

令g′(w)=0，则有

其中w0=1+3n/2.即g(w)为单峰函数，当0w0时，严格单调递减，在w=w0处取得最大值.

因为

由中值定理知：必存在a=a*(0w0),则(a*,b*)必为方程组(7)的最优解.证毕.

3.2 最短置信区间的唯一性证明

定理3Maxwell分布参数的最短置信区间是唯一的.

因为

a*2fT(a*)=b*2fT(b*)=-1/λ*>0，a*<3n/2+1

所以

同理，

4 计算结果与实例分析

4.1 计算结果

由于式(8)的复杂性，方程组没有分析解.本文利用MATLAB来求方程组的数值解,样本容量为n∈{2,3,…,20}，结果如表1所示.

表1 σ2最短置信区间的精度分析Tab.1 The accuracy analysis of the shortest confidence interval for σ2

由表1可观察到，在同一置信水平下，最短置信区间的精度一致优于传统的等尾置信区间，特别是在小样本情况下，提升效果更显著.随着样本容量的增大，两者的差异性越来越小.

4.2 实例分析

采用的实际数据来源于文献[13].选取32个垂直钻孔机数据，立式镗床的故障时间(h)如下：2 802，2 937，2 136，4 359，4 020，1 781，2 816，2 655，3 886，2 296，3 158，3 695，4 155，3 811，2 380，376，2 172，3 705，2 848，4 339，2 076，2 672，3 632，1 976，1 700，1 596，1 701，3 575，3 802，4 351，4 291，808.

文献[13]已证明Maxwell分布最适合此数据.