数学思想方法在高考解题中的应用研究

冉效义

摘 要：从数学思想方法的内涵出发，论述数学思维方法在高考命题中的重要地位以及给高中数学教学的启示。

关键词：数学思想；解题；运用

数学思想方法与数学知识一样，是人类长期发展的经验总结和智慧结晶，是数学知识所不能代替的；只有数学知识与思想方法并重，数学知识与思想方法相互促进，才能更深刻地理解数学，从整体上认识数学，灵活地运用数学以至实现数学创造。

一、高考中数学思想方法的基本类型

高考命題突出的数学思想包括：数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想等。这些思想的考查贯穿在数学试卷的始终。

1.数形结合思想

其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体。数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，数与形是中学数学中被研究得最多的两个角度，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它把代数方法与几何方法中的精华都集中了起来，既发挥代数方法的一般性、解题过程的程序化、机械化优势，又发挥几何方法的形象直观特征，形成一柄双刃的解题利剑，数轴和坐标系，函数及其图像，曲线及其方程，复数及其复平面、向量以及坐标法、三角法、构造图形法等都是数形结合的辉煌成果。具体解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的呈现，又进行代数抽象的揭示，两方面相辅相成，而不是简单地代数问题用几何方法、或几何问题用代数方法，这两方面都只是单流向的，信息沟通，惟双流向的信息沟通才是最完整的数形结合。

2.函数与方程思想

函数思想是指运用函数的概念和性质，通过类比、联想、转化，合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化、解决问题。

方程思想是指通过对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程，将问题化归为方程问题，利用方程的性质、定理，实现问题与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。

3.化归与转换思想

将所求问题，通过某种转化过程，归结为某个已经解决的问题，从而使所求问题得以解决。数学问题的求解过程，实际上就是问题的转化过程，它主要体现在条件由“隐”转化为“显”，结论由“暗”转化为“明”，既从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的转化过程。注意化归与转化的三要素：转化对象、转化目标、转化方法。

4.分类讨论思想

当所求问题有不确定因素时，要将其分成几种不同的情况进行讨论解决。注意分类原则：不重、不漏；对同一次分类要按同一标准进行；问题需多级讨论时，要逐级分类，不能越级划分。

5.特殊化思想

将所求一般性问题，转化为特殊值、特殊图形、特殊位置……来考虑，从特殊到一般，将复杂问题简单化解决。

高考题重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活运用。它着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。高考试题这种积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。

二、高考复习中数学思想方法的教学途径

1.用数学思想指导基础复习，在基础复习中培养思想方法

基础知识的复习中教师要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴含的丰富的数学思想方法。如，几何体体积公式的推导体系，集公理化思想、转换思想、等积累比思想及割补转换方法之大成，就是这些思想方法灵活运用的完美范例。只有通过展现体积问题解决的思路分析，并同时形成系统的、条理的、体积公式的推导线索，才能把这些思想的方法明确的呈现在学生的眼前；学生才能从中领悟到当初数学家的创造性思维过程，这对激发学生的创造性思维，形成数学思想，掌握数学方法的作用是不可低估的。深化学生图象变换的认识，提高了学生解决问题的能力及观点。

2.用思想方法指导解题练习

在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识，注意分析探求解题思路时数学思想方法的运用。解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想、提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与题断间的差异过程。

调整思路，克服思维障碍时，注意数学思想方法的运用。通过认真观察，以产生新的联想；分类讨论，使条件确切，结论易求；化一般为特殊，化抽象为具体，使问题简单等都值得我们一试。分析、归纳、类比等数学思维方法，数形结合、分类讨论、转化等数学思想是走出思维困境的武器与指南。用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性、灵活性、敏捷性；对习题灵活变通，引申推广，培养思维的深刻性，抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性、批判性。

数学思想方法是高中数学的灵魂，是数学高考命题的灵魂，掌握数学思想方法是形成能力的必要条件。因此在平时的学习中要能动地、创造性地解题，需重视数学思想方法的运用。

（作者单位 甘肃省安定区西巩驿中学）