利用a·b≤a·b巧解数学竞赛题

方志平

摘 要：向量的数量积是两个向量间的一种乘法运算，数量积隐含着一种不等量的关系，即a·b≤a·b，而这种不等量的关系可用来证明不等式. 解决此类问题的基本方法是构造法，因此解题的关键是从所证不等式的结构和特点出发，巧妙构造向量.

关键词：构造；向量；数量积；不等式

我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，常用的一些证法很难奏效. 这时我们不妨变换思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，构造适当的向量，利用a·b≤a·b（当且仅当a与b共线时等号成立）这一特殊性质解题，可避免繁杂的凑配变形技巧，起到事半功倍的效果！本文通过构造向量巧解数学竞赛题，以抛砖引玉，引起中学生对向量的工具性的重视.

评注：依条件先将求证的结论进行等价变形，考虑题设与变形结论的特点，巧妙构造空间向量，利用m·n≤m·n这一特殊性质证明不等式，起到化繁为简，化难为易，解法新颖，事半功倍的效果！

向量融数形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份，是解决几何问题的锐利武器，同时它也是解决具有特定结构的代数问题的重要工具. 对一些具有特定结构的不等式的证明，认真分析不等式的条件和结论，运用构造向量的方法解决不等式问题，不但可以深化对向量的有关性质的认识和理解，而且可以沟通数学中不同知识内容之间的内在联系，为解决数学竞中一些不等式问题提供一种行之有效的新方法. 另外，不失时机地运用m·n≤m·n这一特殊性质解决问题，不但能激发和培养学生的探索精神与创造性思维，而且能让学生感受到数学的无穷乐趣和无限魅力！