让立体几何变得不再“立体”

黄敏

摘 要：立体几何是高中数学教学中重要的板块，是高考必考内容，但立体几何知识却一直是高中数学学习中的一个难点，出现教学难教、学生难学的现象. 如何让学生学好立体几何，走出困境，笔者就此谈谈自己的看法.

关键词：高中数学；立体几何；教学策略

立体几何是高中数学教学极为重要的内容之一，也是高考考查的重点.《课程标准》中的立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑推理能力等，在处理方式上，与以往点、线、面、体，从局部到整体展开几何内容的方式不同，《课程标准》按照从整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程. 然而，对于许多学生来说，由于缺乏空间想象能力，没有掌握合适的解题方法，立体几何是令他们头疼的一大板块，对文科生尤其如此. 那数学教师在教授立体几何时，应当如何讲解才能使得学生对立体几何的了解更为透彻，进而掌握解题的方法和策略呢？笔者认为，要想让立体几何变得不再那么“立体”，教师可以从以下几方面入手.

[?] 立体几何教学大纲的要求

按照立体几何教学大纲来看，学生对立体几何的学习应当从整体的观察开始，以对空间图形的认识为基础，进而理解空间中点、线、面之间的关系，有一定的空间想象能力.

1. 对线、面、体的教学要求

按照大纲要求，学生应该掌握平面的基本性质、直线和平面的位置关系、线线平行和线线垂直的判定方法、二面角等多项内容. 在数学方法上，大纲要求学生能够较为熟练地运用反证法来证明一些简单的几何题目；在几何图形上则需要学生了解多面体、球体、棱柱和棱锥的基本概念和相关的面积计算公式等.

2. 对空间几何体的教学要求

大纲对空间几何体的教学要求是需要学生认识并掌握空间几何体的结构特点，并能在现实生活中找到相对应的例子. 此外，大纲还要求学生掌握三视图的画法，要能画出一些结构简单的空间图形.

3. 大纲对点、线、面之间的位置关系的要求

点、线、面之间的位置关系既是立体几何学习的重难点，也是高考考查的重要知识点，因此学生对点、线、面之间关系的掌握一定要很牢固. 按照大纲要求，学生要能够按照一定的模型来理解点、线、面三者之间的位置关系，并在掌握了教材所讲授的定义、公理等的前提下，通过理论想象和动手操作来加深对线面平行等的认识. 正是因为点、线、面之间的位置关系种类很多，因此学生要加强对其中必要的、常用的公理、定理的掌握.

[?] 教师应当如何让立体几何变得不再“立体”

从多年的从教经验来看，笔者认为，可以从以下几个方面着手让立体几何变得不再“立体”：

1. 将立体几何与生活相结合

数学这门科学很大程度上是源于生活的，这一点从立体几何上可以看出.我们日常生活中的许多建筑就有立体几何的影子，因此，在立体几何的教学中教师应将立体几何与生活进行一个融合. 比如说，在上立体几何的新课之前，可以先引导学生观察一些常见的物体，并让学生自行描述、概况和总结这些物体的几何特征，这样可以让学生感觉立体几何存在于我们的日常生活中，学习的热情不自觉地也就有所提升，同时还减少了学生对立体几何的恐惧感.

在苏教版的高中数学教材中， 立体几何的教学是从“柱、锥、台、球的结构特征”开始的，教师在上课前就可以准备一些实物模型，比如地球仪等让学生来描述这些物体的结构特征，并进行总结. 这种方法能够让教学在好的氛围下顺利进行. 同时，这种从抽象到具体的教学方法也使得对物体的感性认识加深.

2. 巧妙运用转化的数学思想

转化这种数学思想在高中数学的学习中至关重要，在立体几何的学习中更是如此.许多学生从平面图形的学习转为立体几何的学习中常常会感到不适应，这和空间想象能力的缺乏有很大关系.因此教师应当积极培养学生的空间想象能力，同时要教会学生巧妙运用转化的思想来解决各种立体几何的问题. 转化思想在立体几何中的运用主要体现在以下几个方面：首先是空间里直线和平面关系的转化，其次是将立体几何问题转化为平面问题. 在具体的教学过程中，教师应当注重引导学生对这两种转化的重复练习. 如何将立体问题平面化，在遇到不同平面的直线所成的角的问题时，一般是将其转化为某三角形的角，二面角转化成平面角的问题，线面平行转化为线线平行，等等. 只有让学生经过不断的练习，掌握转化的精髓，才能帮助学生真正提高解题的效率，更好地掌握立体几何的知识.

3. 投影、三视图和直观图的运用

投影、三视图和直观图都是在新课改进行以后增加的内容，按照课标的要求学生应当能够画出三视图和直观图，这两种图形的画法能够帮助学生提高对空间图形的认知，因此，也成为以后立体几何教学的一大重点. 与人教版和北师大版教材都不相同的是，苏教版的数学教材在立体几何的章节里更为重视投影、中心投影等. 同时，在教材的编排上，苏教版重视逻辑性思维的培养和塑造，这种内容较多的教材也能更好地帮助学生理解和掌握教学的内容，因此也更适合学生的学习.

4. 直观感知和动手操作相结合

教师在立体几何的教学中要加强对学生的直观感知能力的培养和逻辑思维的培养. 由于立体几何概念和定义的抽象性，因此要多给学生提供动手操作的能力. 学生通过自己动手画，组合几何图形能够加深对所研究图形的理解，这种自主探索的精神对于学生科学态度的形成也有着重要作用. 因此，在立体几何的教学活动中，教师应当鼓励学生认真观察，仔细操作，大胆猜想，规范作图等来加深自己的感性认识，进而上升到理性认识.

5. 教会学生正确运用解题策略

教师要想让立体几何变得不再“立体”，除了要做好上述几点之外，也应当教会学生正确运用立体几何的解题策略.立体几何的解题策略主要包括以下这些：（1）一般问题特殊化处理，一般问题特殊化处理的方式常常适用于问题较为复杂且计算量较多的情况，这种取特例和特殊值的方法更多在选择题的时候运用. （2）将表面距离平面化. 当我们需要求圆柱、圆锥等常见几何体表面的某两点的最短距离时，我们一般都会将这两点转化到平面几何中去处理，而在平面之中两点之间距离最短的是线段，因此我们遇到此类问题常将立体图形的侧面展开，展开的侧面是一个平面，计算这两点间的线段长度就能得到正确的答案.

6. 教会学生运用画图方法

教会学生画图，从而更好地解题，也是立体几何一种学习策略. 例如：“直线与平面垂直的判定”这一部分的知识，学生必须弄清定义“若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直”. 根据其定理再进行有关延伸，学生能够转化为数学语言：“m为直线，n为平面β中的任意一条直线，若m⊥n，那么m⊥β”，或者是“m为直线，n为平面β中的任意一条直线，m，n交于A点，若A点为垂点，则m⊥β”. 这样说明学生对该基础知识有所掌握，教师再根据定义，将判定依据“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面”等进行讲解和举例，最后根据各条判定条件进行有关的例句举例和练习.

除了以上的将一般问题特殊化、表面距离平面化之外，面临立体几何中的最值问题求解时，我们可以先根据题目条件构造出一个由所求变量所组成的目标函数，函数构造完以后通过函数最值的求法算出我们需要的结果. 在求解的过程中我们可以运用配方法、判别式法、三角法等等，如下例.

例：已知直平行六面体的底面两邻边之和为a，底面的锐角为30°，侧面积为s，求这个六面体的面积的最大值.

总之，教师在讲解立体几何的同时，要注重培养学生的空间想象能力和实践动手能力. 由于立体几何所涉及的图形较为抽象，且所考查的内容较多，点、线、面之间的位置关系等又很复杂，因此，教师在教学过程中应不断探索和思考让立体几何变得更加容易的办法. 立体几何的教学不应当是孤立、片面的数学教学，也不应当是“眉毛、胡子一把抓”的不分重点，教师要根据教学大纲要求，根据学生的掌握程度来进行适当分解，只有这样，立体几何才能更容易被理解和消化.