从开放题设计走向开放性教学

蒋明玉

数学教学中引入“开放题”的教学，是培养学生创新精神和实践能力的重要途径。但部分教师仅仅将开放题作为一种题型（或数学知识）来教，就题论题，开放性解决问题的能力并没有在学生头脑里真正建立起来。本文强调教师要确立开放性教学观念，从不同层面学会开放性的引导、激励、评价等，从开放题设计走向开放性教学。

一、问题困惑

在近几年全市性的招生命题中，我有意设计了一些开放题，但学生解答的结果并不理想，能够完整做出答案的学生仅占总数的5%左右，绝大多数学生缺乏开放意识，不知道要分类去分析、思考问题。从中可见，广大数学教师对于开放题的教学还是浅层次的，缺乏真正有效的开放性教学。

二、分析思考

在数学教学中引入“开放题”的教学，是培养学生创新精神和实践能力的重要途径，对于丰富教学内容、拓宽教学思路是十分有益的。但是，是否有了开放题，就一定能激起学生独立思考和创新的意识呢？未必。在实际教学中，有些教师仅仅将开放题作为一种题型（或数学知识）来教，就题论题，开放性解决问题的能力并没有在学生头脑里真正建立起来。

那么，怎样才能唤起学生的求异思维和开放意识呢？在数学课堂教学中，教师应给学生留下更大的空间，而不是将学生的思维活动局限于一个事先划定的狭小范围。教师除了有机结合教学内容设计好开放题外，关键是教师要确立“开放性教学”观念。就是要善于依托“开放性教学”，确定开放的教学观念，学会开放性地引导、激励、评价等，促进教师“开放性”教学水平的提高。笔者认为，在教学过程中努力增强教学的开放性，是解决上述问题的一个有效措施。

三、实践研究

1.给力新知导入阶段

依据学生所具有的“数学现实”，创设问题情境，充分尊重并相信学生，给学生自主探索的机会，使全体学生能从不同角度尝试、探索和解决问题，在开放的情境中展现学生开放的思维过程，体现教学的“开放性”。

案例1 暴露思维过程，培养探索精神

数学教学应力求充分暴露学生的思维过程，将知识的形成、发展过程展现给学生，学会科学地思维。“通分”一课，我是这样导入的：

在比较完两组同分母分数及同分子分数的大小之后，教师出示：（ ），谁大谁小？引导学生观察，发现这组分数分子、分母都不同，以前的方法不管用，怎么办呢？此时，学生议论纷纷，“快嘴”的学生已经开始叫喊哪个分数大、哪个分数小了。这样，在矛盾冲突处创设问题情境，从而启发学生思维，调动了学生学习的积极性。

此时，我因势利导，组织学生小组讨论，让学生在讨论中尝试解决问题。在充分讨论的基础上组织全班交流，在交流中展现不同的思维方法。

生1：我利用画圆的方法，先画一个圆，平均分成4份，取其中的3份；再画同样大小的一个圆，平均分成8份，取其中的7份。然后把两个阴影部分进行比较，得出：<。

学生2：我还有一种办法，根据分数与除法的关系：=0.75，=0.875，因为0.75<0.875，所以<。

生3：刚才我们发现，把“1”平均分成4份，取其中的3份，表示。比1少，而比1少，因为>，所以<。

生4：我想把它们变成分母相同的分数，这样就可以比较它们的大小了。根据分数的基本性质：=，=。因为<，所以<。

生5：还可以变成分子相同的两个分数：=，=。因为<，所以<。

在充分交流的基础上，教师引导学生对上述解法加以比较。学生认为这些算法都是正确的。那么，哪些算法具有普遍适用性呢？

通过讨论和争辩，大家认为，生4和生5的方法具有普遍适用性。

此时，开始让学生看书：什么叫“通分”呢？

……

反思：上述教学，以分数大小比较为问题情境，激起了学生的求知欲。一方面，引导学生小组讨论，在合作交流中获得多种解决问题的方法。另一方面，充分暴露学生的思维过程，展现学生各自的思维方法，并从中选出最一般的方法，为顺利引入“通分”创造了条件。数学教学应当是富于思考的，学生应当有更多思维的余地。教师的责任更多的是为学生提供思考的机会，为学生留有思考的时间和空间。

2.给力新知展开阶段

创设开放的情境，要讲究开放的艺术，充分调动学生原有的知识经验，引导学生通过提出适当的问题，多角度、多层次地探索新知，鼓励学生从不同角度，采用不同思维形式解决问题，重视学生个性化的建构过程，增强教学过程的“开放性”。

案例2 大胆猜想，仔细验证

片段一 导入新课，大胆猜想

师：在数的王国里有许多神奇的现象，如不起眼的“0”，它表示什么意思？（一个也没有）可千万别小看这个“0”，它的作用可大了。看，在整数2的末尾添上一个0，这个数发生了什么变化？添上2个0呢？如果反过来看呢？在整数的末尾添上0或去掉0，整数的大小就发生了变化。那在小数的末尾添上0或去掉0，猜猜看，小数的大小会不会发生变化呢？

生1：我猜想在小数的末尾添上0，小数会变小；在小数的末尾去掉0，小数会变大。

生2：在小数的末尾添上0或去掉0，我觉得小数的大小不变。

师：究竟谁的猜想对呢？今天这节课我们就一起来研究小数中的这个问题。

反思：从学生的认知基础出发，顺应学生的思路去引导学生建立猜想：在小数的末尾添上0或去掉0，猜猜看，小数的大小会不会发生变化呢？让学生大胆猜想规律，教师充分尊重学生的猜想，从而有效激发了学生探究新知的兴趣，为下面多角度验证猜想提供了重要条件。

片段二 仔细验证，探究规律

（1）初步引导验证

师：老师这儿有一根彩带，它的长度是1分米。（课件出示彩带和直尺）除了用数据1分米表示这根彩带的长度外，你还能用其他的数据表示这根彩带的长度吗？

生1：10厘米，100毫米。

生2：米。

生3：0.1米。

生4：米、米。

生5：0.10米、0.100米。

师：这些数据都表示同一根彩带的长度，所以它们都是相等的。

生边说师边板书：

1分米=10厘米=100毫米

米=米=米

0.1米=0.10米=0.100米

师：仔细观察下面的这组小数，从左往右看，你发现了什么？

生：在小数的末尾添上0，小数的大小不变。

师：从右往左看呢？

生：在小数的末尾去掉0，小数的大小不变。

（2）多角度开放验证

师：看来刚才我们的第二种猜想是有一定道理的，那是不是个巧合呢？仅用这一个例子来验证我们的猜想，够不够？是不是每一个小数都存在这种规律呢？还需要我们再举些例子来证明。我们就以0.3和0.30为例，请同学们联系自己的生活实际或作业纸上画一画、分一分，想办法证明0.3=0.30。四人一小组讨论。

生1：我把它们想成0.3元和0.30元，它们都表示3角钱，所以它们是相等的。

生2：我把它们想成0.3米和0.30米，它们都表示3分米，所以它们是相等的。

生3：我用的是画图的方法。用一个正方形表示整数1，平均分成10份，0.6有这样的6份。再用一个同样大的正方形表示整数1，平均分成100份，0.60有这样的60份，比较以后，它们的大小是一样的。（师用课件配合演示）

生4：0.6表示6个0.1，0.60有60个0.01，也就是6个0.1，所以它们是相等的。

生5：我还能把它们想成0.3吨和0.30吨，它们都表示300千克，所以它们是相等的。

师：我们从很多角度都证明了0.3=0.30，看来我们的第二种猜想是正确的。再请同学们从左往右看，你发现了什么？从右往左看呢？

生1：从左往右看，在小数的末尾添上几个0，小数的大小不变。

生2：从右往左看，在小数的末尾去掉几个0，小数的大小不变。

师：上面两个例子中小数的大小都不变。那小数在怎样的情况下大小就不变了呢？你能把你的发现用一句话概括出来吗？

生：在小数的末尾添上或去掉“0”，小数的大小不变。（板书）

师：这就是我们今天要研究的小数的性质，（板书课题）一起读一读这个小数的性质。

师：在小数的末尾添上或去掉0，小数的大小不变。那它是否说明这个小数就没有任何变化呢？什么变了？

生1：小数的位数变了。原来是一位小数，现在变成两位小数了。

生2：计数单位也变了，原来的计数单位是0.1，现在变成0.01了。

师：观察得真仔细，在小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小没变，但小数的位数和小数的计数单位发生了改变。

反思：一方面，在教师的引导下去验证猜想，初步得出第二种猜想是正确的；另一方面，进一步开放学生思路，放手让学生自主验证猜想，多角度地仔细验证猜想，使学生在建立猜想、验证猜想、归纳猜想的过程中经历观察、比较、概括等思维活动，发现并理解了小数的性质，拓展了学生对该性质的认识程度，即在小数的末尾添上或去掉0，小数的大小不变，但小数的位数和小数的计数单位发生了改变。在这一过程中，让学生进一步体验数学与日常生活的密切联系，体验数学问题的探究性和挑战性，从而激发学生学习数学的兴趣，有效训练和发展了学生的数学思维能力。

3.给力巩固练习阶段

灵活运用“一题多问、一题多变、一题多解”等策略，使学生经历由“多思”到“多解”层面发展，由“多解”到“巧解”层面拓展，体现训练过程的“开放性”。

（1）一题多问

同一道习题，从多角度、多方面去提出问题，就能“练一题，带一片”，从而有效沟通数学知识间的联系和区别，拓宽学生的思维空间。

比如，教学苏教版数学第11册“分数问题总复习”时，可出示：六（3）班男生有28人，女生有21人，根据我们学过的知识，我们可以提出哪些数学问题？学生不难提出：（1）男生是女生的几分之几？（2）女生是男生的几分之几？（3）男生与女生的比是几比几？（4）女生与男生的比是几比几？（5）男生比女生多几分之几？（6）女生比男生少几分之几？（7）男生占全班人数的几分之几？（8）女生占全班人数的几分之几？（9）男生与全班人数的比是几比几？（10）女生与全班人数的比是几比几？等等。这样，设计一题，问出一片，既复习了分数、比等知识，让学生理解知识发生、发展的变化过程，又培养了学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。同时，这样一题多问，沟通了知识之间的相互联系，达到了“练一题，带一片”的效果，充分体现了训练过程的开放性。

（2）一题多变

沟通知识间的联系与区别，还要善于加强题组设计，一题多变，形同质异，在比较、辨别异同中完善学生的认知结构。比如，学生对于“分率”与“数量”往往容易混淆不清，可设计如下题组练习：①某食堂运来吨煤，已经用去吨，还剩多少吨？②某食堂运来吨煤，用去一部分后还剩，还剩多少吨？

这样一题多变，可以有效提高练习的针对性，既沟通了知识间的联系和区别，又培养了学生思维的广阔性和深刻性。

（3）一题多解

案例3 从无到有，从有到多，从多到优

在一次数学思维训练课上，我出示了以下这道综合练习题：

甲车速度是乙车的，现在甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，在离中点6千米处相遇。A、B两地的路程是多少千米？

读完题后，同学们都议论纷纷，但大家一时还不知道如何解答。

张楠首先说：“通过画图，我可以发现相遇时，乙车比甲车一共多行了12千米，但这道题缺少甲车速度、乙车速度这两个条件，无法解答。”

任飞马上接着说：“既然甲车和乙车速度未知，我们可以设甲车速度为3千米/时，乙车速度是4千米/时，那么乙车每时就比甲车每时多行了1千米。12÷（4-3）=12（时），所以123+124=84（千米）。”

爱思考的张楠听了后，灵机一动，接着说：“按照假设的思路，我们也可以设甲车速度为6千米/时，乙车速度是8千米/时，那么乙车每时就比甲车每时多行了2千米。12÷（8-6）=6（时），所以6×（6+8）=84（千米）。或者用方程解答：解：设经过x时相遇。（8-6）×x=12，得x=6。66+68=84（千米）。”

“两种解法中什么变了，什么不变？”我继续引导大家观察。

任飞说：“甲、乙两车的行驶速度和时间变了，路程却不变。”

张楠同学反应敏捷，又急忙补充说：“两种解法中甲车的行驶路程都是36千米，乙车的行驶路程都是48千米，也就是两车行驶的路程比是3：4。我发现，在相同的时间内，两车的速度比就是两车行驶的路程比。那么，相遇时甲、乙两车行驶的路程比是3：4。”

大家都肯定了张楠同学的想法，并且在黑板上画出了线段图。（此处图略）

“对呀，根据这样的转化分析，这道题又可以怎样解答呢？”我追问道。

李飞在张楠思路的基础上，说出了自己的思路：“相遇时甲、乙两车行驶的路程比是3：4，乙车比甲车多行了一份路程，并且乙车比甲车多行了12千米，那么一份路程就是12千米。所以，解法（1）：全程一共有7份，A、B两地的路程是12×（3+4）=84（千米）。解法（2）：甲行了3份，3×12=36千米；甲行了4份，4×12=48千米，一共是36+48=84（千米）。”

张楠也不甘示弱，又结合分数应用题的思路说：“既然相遇时甲、乙两车行驶的路程的比是3：4，那么甲车行了全程的，乙车行了全程的。从右往左看，乙车行驶的路程比全程的一半还多6千米，因此，解：设A、B两地间的路程是x千米。得方程：x-x=6，x=84。

最后我总结说：“同学们要善于从不同角度去看线段图，学会从不同角度去思考问题，这样就可以得到不同的数量关系，得出不同的解决问题的方法。”

爱思考的同学还在继续探索：这道题你还可以从什么角度去思考呢？

……

反思：引导学生从不同角度观察、思考问题，积极鼓励解决问题策略的多样化，是提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力的重要途径。笔者认为，应引导学生经历探究问题的全过程。

（1）面对问题从“无办法”到“有办法”。题目中的隐蔽条件，往往是提供巧妙解法的重要因素。教学中要鼓励学生结合具体问题，进行大胆尝试、假设、猜想、联想，引导学生充分挖掘隐蔽条件，深入理解题意，抓住问题关键，合理解决问题。

（2）从“有办法”到“办法多”。在得到基本的解题思路和方法之后，又不能让学生被这些基本解法所束缚，而要鼓励学生能深入思考，敢于多角度、多方面、多层次地探索和发现，使学生敢于求异。

（3）从“办法多”到“能迅速捕捉到机智的巧妙办法”。教师要留给学生“探索、求异、创新”的余地，留给学生思考、想象和创造的空间，尊重和激励学生的独立思维，让学生的智慧得以“闪光”。

4.给力拓展延伸阶段

结合“开放题”的教学，引导学生全面思考问题，尊重学生的数学思维风格或思维形式，培养学生良好的数学思维品质，体现拓展应用的“开放性”。

案例4 三思而后答

合理利用一些开放题，不仅能培养学生的应用意识和实践能力，而且有利于拓宽学生的思维空间，培养多样化的解题策略与思路。比如，在教学“行程问题的综合运用”时，我设计了这样一道题：在一条公路上，客车和货车同时从相距50千米的两地开出。客车每小时行40千米，货车每小时行60千米，开出多少时间，两车相距80千米？

初读本题，大多数学生往往就片面地认为两车是相向而行，而仅仅考虑一种情况。实际上，此题不可盲目思考、解答，而教师应引导学生仔细分析，全面思考，各种情况一一考虑。

第一，客车和货车同向而行。

（1）货车追客车。因为两车已经相距50千米，如果两车要相距80千米，那货车应比客车多行80+50=130（千米），需130÷（60-40）=6.5（小时）。

（2）客车追货车。虽然客车比货车速度慢，但因现在只相距50千米，则可让货车去追客车，使两车相距80千米。那货车比客车多行80-50=30（千米），则要用30÷（60-40）=1.5（小时）。

第二，客车和货车相向而行。

就是让客车和货车先相向而行，待相遇后继续行驶，使两车相距80千米。此时，两车共行80+50=130（千米），要用130÷（60+40）=1.3（小时）。

第三，客车和货车相背而行。

即让客车和货车按相反方向行驶，使两车之间的距离成为80千米。去掉已经相距的50千米，还要行80-50=30（千米），需要30÷（60+40）=0.3（小时）。

在此基础上引导学生练一练：一条公路边的东西两村相距500米，甲、乙两人同时从东西两村出发，沿公路行走。甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，3分钟后两人之间的路程是多少米？

（1）在这道题中没有告诉我们甲、乙两人的行走方向，所以解答这道题应该分情况加以讨论。（自己先画一画线段图，想一想有几种不同的情况。）

（2）想一想：如果把“3分钟后两人之间的路程是多少米”改为“5分钟后两人之间的路程是多少米”，在四种不同情况中的结果各是多少？在解题思路上是否都相同？

反思：综上所述，有时数学问题的答案也是丰富多彩的。不同的思考角度将会产生不同的解题思路或方法，体现出不同的思维方式和思维品质。思考角度的不同，解决问题的方法也发生了变化。因此，解决“开放题”，在出现多种情况时，要引导学生学会用分类的思想进行讨论，培养思维的灵活性与开放性，这是数学严密性的一种体现。教学时，要引导学生不盲目从事，不被局部现象所迷惑；要引导学生善于从不同的角度去思考，做到整体把握，全面分析，三思而后“答”。

案例5 答案是丰富多彩的（学生小论文）

思维训练课上，蒋老师出示一道题：用一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮做一只深5厘米的无盖铁皮盒（焊接处的铁皮厚度不计），求这只铁皮盒的容积。

一看到这道题，我心想：应该难度不大，把铁皮的四个角割去四个边长为5厘米的正方形（如图1），不就行了吗？这样这只铁皮的容积就等于30×10×5=1500（立方厘米）。

[5][5] [20][5][5][5][5][图1 图2 图3]

老师一听我的分析，直夸我思维敏捷。正当我得意之时，胡洪强站起来说：“老师，我还有不同的解法和不同的答案。”“不可能，有不同的解法我相信，可有不同的答案，我才不信呢！这又不是语文！”我想也没想就回了他一句。老师却让胡洪强继续说下去。“我们可以利用割补的方法，把长20厘米的一边割掉两个边长为5厘米的正方形，并且把它补到另一侧的中间（如图2），这样它的容积就是（40-5）×10×5=1750（立方厘米）。

听了胡洪强的分析，我暗暗吃惊：数学题还真有不同的答案！正当我吃惊时，吴丹辉又站起来：“我还有更巧妙的解法，而且容积比你们还大！”我瞪大眼睛，吴丹辉继续说：“如果我们把这块铁皮的一半平均分成4份（如图3），补在另一半的四边上（如图3），则它的容积为20×20×5=2000（立方厘米）。

这下，我哑口无言了，想不到数学题的答案会如此丰富多彩。通过这道题的学习，我深深地体会到解题时要善于从不同角度去思考和探索，要敢于求异与创新，创造性地解决问题。

反思：上述三种解法，学生的思维形式同样可以分成三种形式。第一种解法是逻辑思维形式，即由通常做长方体的过程，在四个角剪去4个正方形，得到一个无盖长方体。这样借助一般的方法，从中培养了学生的逻辑思维能力。这类学生具有分析型思维风格。第二种解法是形象思维形式。在第一种解法的基础上，由四个角剪小正方形想到尽可能地不浪费材料，即由观察图形，让图形运动起来，从而获得问题解决，培养了学生的形象思维能力。这类学生具有直观型思维风格。第三种解法是直觉思维形式。凭直觉想到，将长方体的底面做成一个正方形，不仅材料无浪费，而且体积可以变得最大。这种解法深刻而富有创造性。这类学生具有整合型思维风格。

通过上例可以看出，同一问题往往有多种解法、多种答案。教师要引导学生学会多角度地思考问题，让学生的智慧在开放的思维中得以“闪光”，从而培养学生的创造性思维。真正落实课标所提出的理念：“由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”