提高学生使用“数形结合法”解三角函数问题的能力

甘正健

【关键词】数形结合法 三角函数 策略研究

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）07B-0014-03

数形结合法是学习中学数学的一种非常重要的解题思想方法，它可以把方程、函数、不等式、图形的位置关系、图形的数量关系巧妙地连接在一起，堪称珠联璧合的高手。正如著名数学家华罗庚所言：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”

一、问题的提出

数形结合法由于其解法的巧妙性，在考试中往往能节约不少做题时间，并且每年高考都有不少用数形结合法可以快速求解的题型。从2005年、2006年和2008年的高考改卷情况看，这些题的得分率却不高。为此，笔者特意在使用数形结合法最多的《三角函数》中在所带过的四届学生中进行了调查，调查对象为高一年级下学期的学生，每期参与调查的学生人数平均为117人，调查结果如下（见下页表1、表2）：

从上述的调查可以看出：①在解三角函数问题时，想到使用数形结合法解题的学生非常少；②对不同的考题，使用数形结合法的学生人数也有显著差异；③本校学生的数形结合能力总体较低，主要体现在基础知识的缺漏及数形结合的桥梁无法搭建或错误构建；④使用数形结合法有时并不是最优的解题思想方法，有可能会增加解题的负担；⑤某些题目中恰当使用数形结合法解题正确率远远高于非数形结合法。

二、经验提升及反思教学

纵观传统教学过程中数形结合法的有效教学策略，笔者根据多年的教学经验总结出以下几个方面：

1.归纳整理出能使用数形结合法的考题特征。如黑龙江省大庆实验中学的黄萍列举了数形结合法在判断方程根的个数问题、在解不等式、在线性规划、在圆和圆锥曲线中的应用。又如盐亭县职业高级中学的何大涌也归纳出运用数形结合法巧解高考三角函数问题的求函数的最值、确定角的范围、判断函数的单调性、函数零点或方程的根、确定参数的范围等五种考题特征。另外，广西师范大学教授袁桂珍也整理出了验证类、图形重组类、探索规律类等八大类。

2.注意数与形的联系，构建常见的数与形的关系表格。

3.举一反三，变式教学。

4.从“数”想“形”，可由“形”到“数”，也可由“数”到“形”，甚至实现数与数、形与形的直接对接。笔者对这四届学生采用传统教学模式，对上面四种有效的数形结合教学策略进行尝试，但学生对用数形结合法解决三角函数问题却很不敏感。

三、形成探究课题

纵观各种提高高中生解题能力的研究，笔者发现有两点共性很高。其一是“教法”上想办法：如改变教学理念，改进教学方法和教学模式；思维诱导强化，培养学生学习数学的兴趣；注重能力训练，发展学生数学应用意识。其二是“学法”上下工夫：如增强主动性，养成好习惯；增强独立性，突破“师言堂”；增强探求性，树立自信心。

其中，针对教学模式的改革，笔者在高2011级学生班级实施新课堂教学模式，经过上半学期的尝试，笔者发现新课堂教学模式与传统模式有很大的不同。因此，笔者饶有兴趣地开展了在新课堂模式下，提高学生应用数形结合法解三角函数问题的研究，并根据传统教学的有效策略，制订了以下几种策略。

（一）策略一：精心设计导学案，润物细无声，数形结合巧然现

由于在新课堂模式下，教师对学生引导最多、最集中、最有效的就是导学案，它不仅可以把教师想点到的内容进行呈现，也是学生顺利构建知识框架的基础。

途径1：概念的教学是中学数学的一个重要板块，据统计，高中阶段理科概念有396个，文科概念有359个，而可以构建数形关系的概念占95%左右。因此，精心设计导学案，从数与形对概念进行螺旋式转换，是夯实“数形结合”的根基，是开启学生对数形结合法解三角函数问题敏感度大门的一个有效途径。

途径2：在传统教法中，归纳整理出能使用数形结合法的考题特征是提升学生数形结合法解题敏感度非常有效的教学策略。所以在新课堂模式下，精心设计导学案，可以将传统法中这一策略发挥到极致。

笔者对这十年来广西高考题中涉及三角函数内容的考题进行研究，归纳出可以使用数形结合法的考题类型：求特殊角的三角函数值、知角求值、知值求值、知值求角、函数的值域（含最大值和最小值）、确定角的范围、判断函数的单调性、函数零点或方程的根、确定参数的范围、解斜三角形等等。因此，我们应该精心设计导学案，提升学生用数形结合法解决三角函数问题的敏感度。

途径3：精心设计导学案，对新课内容、专题内容、复习课内容、习题课内容、讲评课内容都可以进行必要且精彩的呈现。在不同的课型中，只要保持将数形结合法贯穿始终，教学完成三角函数后，学生至少有5次以上的重复感知、提升数形结合法的机会，基本可以达到熟记水平。因此，精心设计导学案，可以让学生在学习三角函数的过程中，充分感知“随风潜入夜，润物细无声”的学习效果。

（二）策略二：充分发挥小组合作优势，集中火力，数形结合展魅力

小组合作模式是新课堂模式与传统课堂模式在形式上的最大差异。新课堂模式下，课堂的所有环节都围绕小组合作形式展开，小组的形成是极有讲究的，一般是按AABBCC分组，每个组内均有数形结合思维强和思维弱的同学，也就是组间同质、组内异质，所以如果能充分发挥小组合作形式的优势，对学科知识的传授就可以做到有的放矢、游刃有余，对提升学生运用数形结合法解三角函数问题的敏感度同样具有较强的作用。如何让这个策略有效实施，笔者认为可以通过以下几个途径达成。

途径1：充分利用小组展示机制。新课堂模式下每个小组都要进行展示，各小组为了能在全班同学面前展示新知识，他们必将对需要展示的知识进行课前研究，做到自己会，小组的同学也要会，更重要的是能清晰地告诉全班同学，说清思路、理顺关系、获得相应结论等等。所以充分利用好小组的展示，对提升学生使用数形结合法解题的敏感度是非常有意义的。就三角函数有关的值域（含最大值、最小值）专题来说，我们可以分为以下几个小专题进行讨论：

1.函数y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的图象和性质，如何求该函数的最大值和最小值；如果限制定义域，如何求最大值和最小值。

2.函数f（x）=sinx+2cosx可以化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式吗？函数f（x）=sin2x+cos2x可以化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式吗？若可以，请求出它们的值域。

3.函数y=cos2x+2sinx-1可以化为y=Asin（ωx+φ）+k形式吗？如果不行，该怎么解决该函数的值域问题？

4.函数y=sinx+（x≠kπ，k∈Z）；函数f（x）=；函数f（x）=log2（sinx+cosx）可以化为y=Asin（ωx+φ）+k形式吗？如果不行，该怎么解决该函数的值域问题？

5.从上面这些专题中，你可以就与三角函数有关的函数值域问题说说你的心得及在数形结合法应用上的感受吗？

教学反思：为什么单一的函数学生利用起来得心应手，数形结合感挺好的，但复合起来之后，学生就陷入思维死胡同呢？笔者认为除了代数中“形”的变化跟不上，还有一种叫后摄抑制的思维在影响着学生数形结合能力的提升，即学生学了后面的知识，或学了当前的知识，他们就习惯用最近所学的知识去解决问题，而缺乏全局思想。一旦通过小组展示，小组必须在课前或课中进行对学和群学，在互相学习的过程中，前后的知识得以互相融合，基础函数的图象和性质就有机地整合了，从而对数形结合的敏感度就不是单一的了，而形成了一种复合型思维。

途径2：小组点评机制。在新课堂模式下，优秀的点评犹如优秀的展示，到位的点评，可以一语道破天机，是打开认知大门的一把钥匙，是洞穿纷繁复杂的解题思维的一双利眼！学生要给出漂亮的点评，他必须首先对该展示内容能听懂、悟透，并且通过同学的展示也能得到一定程度的启发。这样，不但培养了学生的洞察力、表达能力，更能间接地反映出其他学生的课堂学习接受程度以及对所展示的知识的传授程度，这对提高学生数形结合的敏感度而言是一条重要途径。

途径3：小组质疑机制。在新课堂模式下，每个小组都可以就别组展示的内容提出质疑，从而推动对研究内容进一步深化。有质疑，必有新意，必有收获，必有提升；每一次质疑，都会引发师生的思考、激辩，引发思维火花的相互碰撞。

（三）策略三：组织、激发小组学习，数形结合自觉使

小组课堂上应用数形结合法解三角函数值域的各种漂亮展示，从而让课堂流畅，让学生对数形结合法应用的敏感度有不同程度的提升，这些要取决于小组学习的组织与激发，笔者认为可以通过以下途径达到效果。

途径1：小组作业机制。在新课堂模式下，笔者对作业采用了如下机制：对每天布置的作业，一般都是导学案（灵活组织、选择课本内容及所使用的教辅书内容构成），老师每个小组抽改一本，然后当天得到老师批改的同学就是当天的数学组长，这个数学组长拿到老师批改的作业后，根据老师给的正确、规范的解题步骤或提示，批改本小组其他同学的作业，一般每天花8分钟左右。另外，一周内，每组的数学组长不能相同。在学期开始，每个小组每位成员均有100分的基础分，每个小组也有100分的基础分，老师每天批改作业时都检查当天数学组长的作业是否得到其他小组的数学组长的批改，对尽到当天数学组长工作的给予加分，没尽责的则减分，同组里若一周内有重复当数学组长的全组减分，学期结束后按分数多少进行奖励。在这个作业机制下，每位同学都可以得到老师批改作业，都可以得到其他组员的帮助和分析，并且每位同学对他们所批改的当次作业一般有6次重复的审视和阅读及理解，特别是他们在纠错的过程中必然对正确的解题步骤的掌握达到最佳阶段，每天所学的知识自然而然得到强化，对数形结合法敏感性的提升当然也不在话下。

途径2：小组活动机制。小组活动机制含有小组成员的独学、对学与群学。笔者认为小组活动机制特别适合提高学生使用数形结合法解三角函数问题的敏感度，因为在一个小组内，有些成员对数的“形变”特别敏感，有些成员对图的“形变”特别敏感，有些对“数”特别敏感，就是所谓的数感。而共同都不敏感及都敏感的地方更方便在课堂上小组活动时老师对他们进行共同点拨。

（四）策略四：实战之中，重视选择题及填空题的思维暴露，数形结合显神威

课本的例题有很强的示范性及指导性，而课本的习题也有很强的指向性；测验试题是老师精心备课、上课的前提下出的有针对性的考题；高考真题，更是检测学生学习情况的最典型的代表。在新课堂模式下，这些习题教师应很好地融合起来，注意做好归类、比较和拓展，注意把它们编进平时的测验题中。特别是三角函数部分的考题，在高考中使用数形结合法解题大多出现在选择题及填空题，学生做这些题时，老师是看不出他们的思维过程的，笔者认为，要提升学生使用数形结合法解三角函数问题敏感度，还应该设立小组讲评机制：布置好每个小组的讲评任务，让每个小组把本小组内所有成员的解题过程都展示出来，不论是对、是错，从而大面积的暴露学生的思维过程，从中，我们会发现他们数形结合的不敏感部分。案例：已知sinα=，且α∈（-，-π），求tanα= 。这是一道非常典型的知值求值题，通过代数变形计算就可以求出，很多老师估计不会在数形结合方面注重这样的一道题，笔者之前也是如此。而在新课堂模式下，笔者采用小组讲评机制后，有一个小组的同学呈现他们的做法有。

从这些学生的解法中，我们欣喜地看到他们不但具有了代数抽象变形的能力，而且在“数”与“形”结合点的选择上也有了或许更快捷、更直观的结合点。

（责编 林 剑）