杨辉三角与高阶等差数列的求和

李学雷

摘 要：如果一个数列的每一项减去它前面的一项所得的差都相等，这个数列就叫做等差数列。但对于某些数列而言，这样得出来的差并不相等，而是构成一个新的等差数列，就把它叫做二阶等差数列。如果一个数列的各项同它的前一项的差构成一个二阶等差数列，便叫做三阶等差数列。这个定义很自然可以推广到一般的情形：设r是一个正整数，所谓r阶等差数列就是这样的数列，它的各项同它的前一项的差构成一个r-1阶等差数列。二阶以上的等差数列称为高阶等差数列。

关键词：杨辉三角；等差数列；论证；求和

我们都知道，如果一个数列的每一项减去它前面的一项所得的差都相等，这个数列就叫做等差数列。但对于某些数列而言，这样得出来的差并不相等，而是构成一个新的等差数列，那么我们就把它叫做二阶等差数列。列成算式来说，二阶等差数列就是要符合条件：（a3-a2）-（a2-a1）=（a4-a3）-（a3-a2）=（an-an-1）-（an-1-an-2）的数列，而这里的a1，a2，…an分别是这个数列的第1项，第2项，……第n项，同样，如果一个数列的各项同它的前一项的差构成一个二阶等差数列，便叫做三阶等差数列。这个定义很自然可以推广到一般的情形：设r是一个正整数，所谓r阶等差数列就是这样的数列，它的各项同它的前一项的差构成一个r-1阶等差数列。二阶以上的等差数列我们称为高阶等差数列。

我们都熟悉等差数列的求和公式，这里我们要利用杨辉三角来讨论一般的高阶等差数列的求和。首先观察杨辉三角：

（1）

这些等式的正确性可以从杨辉三角中直接看出来，因为杨辉三角的基本性质是：其中任一数等于它左右肩上的两个数的和。我们从图中一个确定的数开始，它是它左右肩上的两个数的和，然后把左肩固定，再考虑右肩，它又是其左右两肩上的两个数的和。这样推上去，总之把左肩固定，而对右肩运用这个规则，最后便得出：从一数的“左肩”出发，向右上方作一条和左斜边平行的直线，位于这条直线上的各数的和等于该数。例如，图中的数10的左肩是4，过数4向上一条和左斜边平行的直线，这条直线上的数有4，3，2，1那么10=4+3+2+1。

用数学归纳法来证明恒等式（1）也是不困难的。不过得首先说明一点：在数学归纳法原理中，如果把条件（1）中的n=1改成n=a（a是一个确定的正整数），而条件（2）对于任一大于或等于a的正整数，n都是正确的。现在我们就在作了这样说明的基础上对恒等式（1）中的n实行归纳法，当n=r+1时，（1）式的左边是1，而右边是Cr+1r+1=1，所以是正确的。又假定（1）式对n=k（k>1）正确，即

例 求等差数列的前n项和。

这个结果就是我们所熟悉的等差数列的前n项和公式。

参考文献：

华罗庚.从杨辉三角谈起.人民教育出版社，1962.

（作者单位 云南省双江县第一完全中学）