机械波多解问题的探究

袁中才 谭玲香

波的传播和介质各质点的振动之间有着密切的内在关系。在求解这类问题时，如果质点振动方向或波的传播方向不确定或波的传播时间或距离不确定或两质点间的关系不确定时，就容易出现多解的现象；如果同学们在解题中不能全面透彻地分析题意，合理地使用已知条件，就会造成漏解或用特解来代替通解的现象。下面就波动的周期性导致多解的问题进行探究。

一、由波传播的时间周期性引起的多解

思维突破：由于机械波在传播过程中，质点作周期性振动，波形图每隔周期整数倍时间形状重复，当波传播的时间t和周期T关系为t=nT+Δt（Δt为小于一个周期的时间，如T/4、3T/4，n=0，1，2，3…）时，会出现多解。

思路分析：由于Δt无约束条件，由振动的周期性，则Δt=（n+1/4）T，T=0.4 s/（4n+1）。由υ=λ/T=20（4n+1） m/s。

答案：υ=20（4n+1） m/s（n=1，2，3…）。

规律技巧总结：在波传播过程中，经过的时间Δt只要是周期T的整数倍，波形图像是完全相同的，故问题中给出的时间与周期之间无约束条件，则应考虑周期性引起的多解。不能只考虑Δt小于周期T的一种特殊情况而漏掉其他的可能解。

二、由波传播的空间周期性引起的多解

思维突破：在波传播过程中，波形图在空间上呈现出周期性变化，当问题中给出的两点间距离x与波长λ关系为x=nλ+Δx，（Δx为小于一个波长的距离，如λ/4、3λ/4，n=0，1，2，3…）时，会出现多解。

例2.一列简谐横波沿x轴正方向传播，轴上的A、B两点，相距15.0 m，B点在A点的右方。若A点的位移达到负极大时，B点的位移恰为零，且向上运动，经0.1 s，B点第一次到达波峰，求波速为多大？

思路分析：若AB之间距离小于波长，则该时刻AB间波形如图2所示，但题中给出的两点间距离与波长关系没有确定，则由于波动的空间周期性，应考虑可能的多解。

规律技巧总结：沿波的传播方向，间距是波长整数倍的所有质点的振动步调是完全相同的。因此，当问题中给出的两点间距离与波长关系不确定时，就会由于波传播的空间周期性出现多解现象。不能只考虑Δx小于波长一种情况而导致漏解。

三、同时由波传播的时间周期性和空间周期性引起的多解

例3.一列简谐横波沿x轴正方向传播，轴上的a、b两点，相距21.0 m，b点在a点的右方。若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零且向下运动。经过1.00 s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移恰达到负极大，则这简谐横波的波速可能等于（ ）

规律技巧总结：该形式的习题是机械波中的难题之一，漏解错误出现较为普遍。当题中给出的两点间距离与波长关系不确定、给出的时间和周期关系也不确定，必须依本题所示，同时考虑波传播的空间周期性和时间周期性，先求出波速的普遍表达式；再分别考虑各种可能的解，否则极易造成漏解。

（作者单位 袁中才：江西省全南中学 谭玲香：江西省全南实验小学）