“数形结合”在初中数学教学中的应用

林绮霞

摘 要： “数形结合”是初中数学中一种重要的思想方法，数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题.利用数形结合的方法可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有形的直观与数的严谨，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学思想方法.

关键词： 数形结合 数学思想方法 初中数学教学

著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离.”数形结合是解决数学问题的重要思想之一，所谓的数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并利用这种结合，探求解决问题的思路.应用其解决问题更加形象直观.

数形结合思想在初中数学中的应用中非常广泛，它比较适合处理那些数量关系与图形位置关系可以互相转化的问题，在中考中既有填空题、选择题，又有解答题.在教学中教师要注重数形结合思想方法的渗透、概括和总结.

一、数形结合在数与式中的应用

在“数与代数”的教学中，教师应强调数与形的结合，让学生建立由数想到形，由形想到数的思想，这样可以加深学生对“数与代数”的理解和认识，如利用图形理解完全平方公式、平方差公式.

北师大版七下第一章《整式的乘除》第5课时《平方差公式》，教科书通过拼图游戏给出平方差公式的一个解释，让学生完整地经历“猜想—验证—证明”的过程，目的是使学生对此公式有直观的认识，避免对公式的死记硬背，使平方差公式的学习更有意义.

例题1：如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.

（1）请表示图中阴影部分的面积.

（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，如图2，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？

图1 a■-b■ 图2 （a+b）（a-b）

（3）比较（1）、（2）的结果，你能验证平方差公式吗？

得到a■-b■=（a+b）（a-b）.

北师大版七上第二章《有理数及其运算》中，数轴概念是中学数学中数形结合的起点，有理数的有关性质和运算都是结合数轴进行的.由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此两个有理数的大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应位置关系进行比较的，相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的.借助数轴可以更好地理解互为相反数、绝对值的几何意义.

例题2：数在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|的结果是（ ）

A.a+1 B.-a+1 C.a-1 D.-a-1

分析：因为字母a表示的是数，所以a+1仍是一个数，要去掉绝对值符号，关键是正确判断a+1这个数是正的还是负的或者是0.根据在数轴上的位置可知a<-1<0，所以a+1<0，故|a+1|=-（a+1）=-a-1.

二、数形结合在方程中的应用

列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列方程，要突破这一难点，通常根据题意画出相应的示意图，特别是应用题中的行程问题、追及问题.

北师大七上第五章《一元一次方程》第7课时《能追上小明吗》

例题3：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学.小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他.

（1）爸爸追上小明用了多長时间？

（2）追上小明时，距离学校还有多远？

解：设爸爸用了x分钟追上小明

通过学生自己动脑动手，画出线段图，能进行图形语言、符号语言与文字语言之间的相互转化，理解题中的等量关系，不同的思路就会出现等量关系的不同表现形式，从而列出不同的式子，培养学生思维的灵活性，进一步列出方程，解决问题，既能娴熟使用“线段图”又能利用方程的思想解决问题，为初二、初三列分式方程、一元二次方程解应用题打下基础.

例题4：（2013年漳州市中考数学试卷选择题第8题）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）

A.x+2y=75y=3x B.x+2y=75x=3y

C.2x-y=75y=3x D.2x+2y=75x=3y

分析：注意观察图形中隐含的数量关系，将对应的数与形结合起来，结果一目了然.

三、数形结合在不等式中的应用

北师大八下第一章《一元一次不等式和一元一次不等式组》，不等式的解集是一个集合，比较抽象.教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生更能形象地看到，不等式的解集有无数个.从而渗透了数形结合的思想，发展了学生符号表达的能力，以及分析问题、解决问题的能力.

例题5：解不等式3x+7>11-x

解：移项，得3x+x>11-7

合并同类项，得4x>4

两边都除以4，得x>1

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

四、数形结合在函数中的应用

“函数及其图像”是初中数学的一个重点，同时也是一个难点.它是历年中考的热点，也是每年中考必考的知识点之一.有关函数的问题让许多学生心生畏惧，无从下手.实际上函数与方程、不等式之间有着紧密联系，在解题时要善于将它们“牵手”，将它们的“形”与对应的“数”结合起来，往往会使很多棘手问题迎刃而解，并且解法简捷、独特.

例题6：已知反比例函数y=■，若x■<0

分析：因为x■，x■，x■不是具体的数，无法带入y=■求值比较大小，利用反比例函数y=■的图像及x■，x■，x■的大小关系，如上图，在图像上就可以直观地比较出y■，y■，y■的大小关系.本题巧妙地构造反比例函数的图像，建立合理的几何模型，利用图像法解决抽象的代数问题.

例题7：已知方程x■-px+5=0有一个根大于2，另一个根小于2，求p的取值范围.

分析：由二次函数与一元二次方程的关系知：方程x■-px+5=0的两个根是抛物线y=x■-px+5与x轴的两个交点的横坐标，因为一根大于2，另一根小于2，所以抛物线与x轴的两个交点一个在2的左边，另一个在2的右边，且开口向上，如图可知当x=2时，函数值y<0，即22-2p+5<0，故p>4.5.

此解法利用函数图像的直观性，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，化难为易，充分体现了数形结合解题的有效性.

例题8：已知一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是（ ）

A.x<0 B.x>0 C.x<1 D.x>1

分析：从表中选取两对对应值x=0，y=1；x=1，y=0作为点的坐标，在平面直角坐标系内画出y=kx+b的图像，不等式kx+b<0的解集就是直线y=kx+b在x轴下方部分所对应的自变量的取值，由图可知，当y<0时，x的取值范围为x>1，所以不等式kx+b<0的解集为x>1，故选D.

解此题的关键是将它们对应的形与数结合起来，从形的角度看，是求直线在x轴下方所对应的自变量的取值范围，从数的角度看，是求不等式的解集.

以上三例是有关函数与方程、不等式的问题，解此类题型时要善于将问题中的数与形结合起来，将抽象思维与形象思维融合在一起，通过“以形助数”、“以数解形”的思想策略，揭示出其隐含在内部的几何背景，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体、直观化，从而有效地找到解题途径，达到优化解题的目的，同时也能发展学生的思维.

五、数形结合在解直角三角形中的应用

北师大九上第一章《直角三角形的边角关系》第4课时《船有触礁的危险吗》

例题9：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？

解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险，如图，只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D，如果AD>10海里，则无触礁的危险.根据题意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20海里.设AD=x，则

∵tan55°=■，tan25°=■

∴BD=xtan55°，CD=xtan25°.

∴xtan55°-xtan25°=20.

∴x=■≈■≈20.79（海里）>10（海里）.答：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.

此题是把实际问题转化为数学问题，构建数学模型，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，运用已有的三角函数知识进行解答.

六、数形结合在统计与概率中的应用

新课标中的统计与概率，在内部编排和内容要求上有所加强，真正让学生经历统计的全过程，发现并提出问题，运用适当的方法，收集和整理数据，运用合适的统计表统计图来展示数据做出决策.

例题10：（2010年漳州市中考数学试卷第21题）漳州市某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）.请你根据图中所给的信息解答下列问题：

（1）请将以上两幅统计图补充完整；

（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有？摇？摇 ？摇？摇人达标；

（3）若该校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？

在统计初步中，一组数据，反映在坐标平面上就是一群离散点.研究一组数据的集中趋势（平均数、众数、中位数），相当于考察这群离散点的分布状态；而研究一组数据的波动大小（方差、标准差），就相当于考察坐标平面上这群离散点的分布规律.这里融入了数形结合的思想方法.在教学中老师要注意到这点，从而加深学生对平均数、众数、中位数、方差、标准差概念的理解.

例题11：（2012年漳州市中考数学试卷第21题）有A、B、C1、C2四张同样规格的硬纸片，它们的背面完全一样，正面如图1所示.将它们背面朝上洗匀后，随机抽出两张（不放回）可拼成如图2的四种图案之一.请你用画树状图或列表的方法，分析拼成哪种图案的概率最大？

图1 图2

分析：首先根据题意画出树状图或列出表格，然后根据树状图或表格求得所有等可能的结果与拼成各种图案的情况，再利用概率公式即可求得答案.

解：画树状图如下：

列表如下：

∴P（卡通人）=■=■

P（电灯）=■=■

P（房子）=■=■

P（小山）=■=■

∴拼成电灯或房子的概率最大.

概率是新增加的内容，其抽象性使它成为教学的难点，在计算简单事件的概率时，采用画树状图的方法，数形结合，能收到化难为易的效果.

“数形结合”思想，就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，代数问题与图形之间的相互转化，使代数问题几何化，几何问题代数化.由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点，在对于培养和发展学生的空间观念和数感有很大的启发作用.利用数形结合思想进行解题可以使得复杂问题简单化，抽象问题具体化.将数形结合的数学思想方法渗透到课堂教学及解題训练中，对培养学生思维的广阔性、层次性及学习能力都有很大的帮助.