基于泊松分布的商场管理

冀永强 吴静

摘 要： 顾客到商店购买物品时相继到达的时间间隔，即某段时间内到达的顾客数一般是随机的，到达商店的顾客接受某一特定服务也是随机的.本文从排队论的一个结论出发，论证了时间内一个顾客接受某特定服务的概率.

关键词： 排队论 泊松分布 概率 商场管理

一、问题的提出

顾客到商店购买物品、客人到饭店就餐等现象是普遍存在的，顾客相继到达的时间间隔即某段时间内到达的顾客数一般是随机的.此时如果要求服务的人数超过服务机构的容量，即到达的顾客不能立即得到服务，就会出现排队现象.

二、引理

设λ表示单位时间一个顾客到达的概率，p■（t）表示时长为t的时间区间内到达n个顾客的概率，则

p■（t）=■e■？摇？摇 （t>0，n=0，1，2，…）

即时间内到达的顾客数服从泊松分布[1].

三、定理

设A■表示随机事件“时间t内到达k个顾客（k=0，1，2，…，r…）”，每个到达的顾客接受某一特定服务的概率为p，且相互独立，则时间t内有r个顾客接受该特定服务的概率为

■e■？摇？摇 （t>0，n=0，1，2，…）

四、定理的证明

设时间t内到达k个顾客的概率为p（A■），B表示随机事件“时间内有r个顾客接受该特定服务”.则

P（A■）=■e■，

P（B|A■）=C■■p■（1-p）■？摇？摇 k=r，r+1，…0？摇？摇？摇？摇 k=0，1，2，…，r-1

由全概公式，有

P（B）=■P（A■）P（B|A■）=■P（A■）P（B|A■）

=■■e■C■■P■（1-p）■

=■■e■C■■P■（1-p）■

=■■

=（λtp）■■■■

=（λtp）■■■■

=■■■

=■e■

=■e■？搖？摇 （r=0，1，2，…）

五、一个推论

设时长为t的时间段内接受特定服务的顾客的数为X，则X服从泊松分布，即在时长为t的时间段内接受特定服务的顾客平均数为E（X）=λtp[2].

六、具体应用

西安某超市液晶电视专柜对2012年一年中每天到专柜前询问的顾客数和最终购买液晶电视的顾客数进行了详细的统计，统计结果如下表1和表2[3].

表1 柜台前询问的顾客数统计表

根据表1可计算出柜台前询问的顾客数近似的服从泊松分布，即液晶电视专柜前询问的顾客平均数约为每天10人.

表2 购买液晶电视的顾客数统计表

根据表2可计算出，购买液晶电视的顾客数近似服从泊松分布，每天前来询问的顾客中购买液晶电视的概率约为0.1078.

参考文献：

[1]运筹学（第三版）.清华大学出版社.

[2]马元生.概率论与数理统计.科学出版社.

[3]吕晓国.泊松分布在商场现代化管理中应用.《商场现代化》，2007.6（505）.