浅谈“高中新课程改革中的参与式数学教学”

罗强

摘 要：本文主要讨论当下的热门话题参与式教学，重心在于如何让学生参与到课堂中，是对数学课堂参与式教学的切身的体验和浅显的看法.

关键词：数学教学；参与式；好奇心；问题；兴趣；积极性

数学看是一门枯燥乏味的学科，正是如此很大程度上限制数学教学的发展. 新课改之后，全面提出参与式教学，不再是填鸭式的教学，它更注重学生的主体性，让学生积极参与到课堂中，主动获取知识.从教师和学生两方面突破数学教学的局限性.

首先，参与式教学中的教师作为一名向导存在，通过设立教学目标，引导学生一步一步主动获取知识. 与过去的数学课堂中，教师始终处于教育活动的中心地位有区别. 参与式教学法强调教学过程是师生之间的双向互动，它需要调动和发挥教师和学生两个方面的创造性、积极性和主动性. 因此，要求注意了解学生的愿望和需求，把他们所关注的问题渗透到教学之中，做到突出主题、有的放矢.

其次，参与式教学中的学生不再是被动去吸收、强记知识，而是要主动去探寻. 在数学课堂上，学生处于主体地位，学生是课堂的探索者，学生就会以主动的态度和自己的方式去探究知识，寻求对自己有价值的知识.

因此教师需在课堂中巧妙地组织教学，引导学生积极主动地参与到教学中去，拓展其发展空间，挖掘其创造潜能，开发其创造力. 但要如何让学生参与到学习中也是参与式教学的关键点；通过这三年来的学案式教学实践，笔者认为可以从以问题贯穿课堂；以成就感提升学生的兴趣；以亲身体验提高学生的积极性这三方面来提高学生的参与度.

以问题贯穿课堂

我们组上的学案教学就是以问题贯穿始终；一个好的问题的提出能勾起学生的好奇心. 问题的提出可先从生活实例或故事或者练习题出发，吸引学生的注意力. 接着从生活或故事或练习题中抛出问题，引起学生的求知欲望，让学生尝试着解决，而学生知道解决的思路，但利用已有的知识却无从解决或与原来的思维发生冲突，勾起好奇心从而主动去探寻解决办法.

比如说，在上《求等比数列的前n项和》时，可以用故事引入：“相信大家都看过《西游记》，那你们知不知道取经后，猪八戒去做什么了吗？话说唐僧师徒四人西天取得真经，修成正果之后，猪八戒回到他朝思暮想的高老庄，大力发展畜牧养殖业，从给高老爷做工的农民工，逐步发展成为一个规模不小的养殖场的老板. 可是上网和同门师兄一沟通，各个资产过亿，于是他也想扩大生产规模，办一个集养殖、加工为一体的高科技生产企业——高老庄集团，可是资金不够，于是他想到了在海南搞房地产的大师兄.

猪八戒：猴哥，能不能帮帮我……

孙悟空：No problem！我每天给你投资100万元，连续一个月（30天），但有一个条件：你第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元……后一天返还数为前一天的2倍. 30天之后互不相欠.

猪八戒：第一天出1元入100万；第二天出2元入100万；第三天出4元入100万元……哇，发了……（想：这猴子是不是又在耍我）.

大家替猪八戒想想他是不是被孙大圣耍了呢？

故事引入的开头顿时激起了学生的兴趣，顺着故事的思路，便也开始好奇孙悟空到底是不是在耍猪八戒. 纷纷开始思考老师所提出的问题，也就是要算两种方式的总价钱，然后进行比较. 学生很容易算出100×30=3000（万元），但在算1+2+4+8+…+229的时候就无从下手了，问题到这就没办法解决了. 在好奇心的驱动下，学生就更想去寻求他的解决办法，从而进入探索新知识的内容.当然教材上也有引用了国王奖励象棋发明者的故事，发明者向国王提出在棋盘上放麦粒的要求，通过学习你会发现最后国王拿出的麦粒总数（1+2+22+23+24+…+263）是一个惊人的天文数字.

因此，设置一个有价值的问题，能充分调动课堂的气氛，促使学生关注问题的每一个动向，带动学生参与到解决问题的过程，从而达到让学生参与课堂的目的.

以成就感提升兴趣

要让学生参与到数学课堂中，他们的兴趣是一个不可或缺的因素. 只要他们对数学有兴趣，也就能够投入到课堂当中. 以成功解决数学问题来满足学生的成就感是提升学生兴趣的途径之一. 如何来帮助学生寻找他们的成就感呢？也就是如何引导学生解决数学问题？一般采取提问加点拨式解决数学问题. 对于所提的问题不宜太过简单，学生会觉得没劲不参与其中，也不宜太具有挑战性，打击学生的积极性. 从学生的实际情况出发，通过问题一步一步引导，适时设置障碍，让学生去挑战，在适当的时候点拨，帮助学生跳跃障碍. 通过这样的途径一是让学生感觉数学其实也不难，二是让学生感觉到自己有能力解决数学问题，就不会在障碍面前失去信心，进而失去学习的兴趣.

我们不主张传统教学中的讲授法，而是根据数学本身，提出问题适当点拨，让学生动脑筋，需要时也可以让单个学生来回答，让学生参与到问题解决过程中，由学生解决. 同时对学生在参与例题解决中的“惑”给予适当点拨，这即为学生参与解决问题扫清障碍，又将鼓励学生以更高的热情参与学习. 对于点拨，常用的方法有联系已知，对照比较，变换角度等等.

比如说，这道题：“已知函数f（x）=对于任意x1，x2∈[-1，+∞]，比较f（x1）-f（x2）与x1-x2大小”. 根据已有的方法，学生会选择用作商法得出. 接着教师可设置第一个问题：“观察这个式子，含有根号不容易计算，接下来应怎么处理呢？”学生的直接反应是平方，出现了，形式更复杂了. 接着教师可提出第二个问题：“对它进行平方，变得更复杂了，还有没有别的方法呢？”留下学生思考的空间并结合分母有理化引导他们往分子有理化方向走，学生经过演算可得出. 第三个问题：“到了这一步，我们如何让这个式子与1有联系呢？”学生想到分母变为形如x1+x2的形式进而会用到放缩法.

再如：证明log23>log34（血色比较法）.

【法1】（高一知识） log23-log34=（log23-1）-（log34-1）=log2-log3>log3-log3=log3>0.

【法2】（高二知识）

教师注意要在题目的障碍处进行引导. “引导”不是传统的讲授法而是强调学生的主体性，注重启发式，在学生踮着脚且够不着的情况下，教师给予搭桥铺垫，让学生“跳一跳，摘果子”. 这就是设置问题的目的：既能勾起学生的好奇心，同时又能满足他们的成就感，学生能在挑战中找到成功的喜悦从而更积极参与其中.

以亲身体验提高积极性

数学课堂教师要少讲，学生要多想，让学生在题目中去“求同存异”；在笔者的教学中坚持一个学的循环过程：“思——做——问——思”. 思是学生的独立思考；做是学生自己动手操作；问是学生间的相互交流；只有让学生在实践中运用，吸取经验教训，才能内化为他们自己的知识，从而提高学生学习的积极性. 比教师自己反复叮咛“这里要注意”、“那里不要出错”的效果要好得多.教师只需在最后进行点拨式的总结一下注意事项.

例如：“由4球放入3个盒子的问题引出的题型”

（基本模型）

由4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个小球的放法数为________.

解：（捆绑法）CA；

[（C）＼&×＼&×＼&]

另：分法：2，1，1，分组分工：·A=C·A=36.

（变化的题型）

1. （组合第3课练习2006重庆高考）将5名实习教师分配到高二年级的3个班实习，每班至少1名，至多2名，则不同的分配方案有（ ）

A. 30种 B. 90种

C. 180种 D. 270种

解：分组为：2，2，1，分法为：·A=90种.

点评：元素个数差为2，且只有1类分组.

2. （组合第3课变换）将5名实习教师分配到高二年级的3个班实习，每班至少1名，则不同分配方案有______种.

解：分组为：2，2，1或3，1，1，分法为：

+）·A=150.

点评：去掉了条件每班至多2名，元素个数差为2，且有2类分组.

3. 5个不同的小球放入5个不同的盒中，恰有1个空盒的放法数为______.

解：CA=10×120=1200.

（区别的题型）

4. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（ ）

A. 12种 B. 24种

C. 30种 D. 36种

解：C·22=24.

（引申的题型）

5. （2011重庆）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中，

（1）没有人申请A片区房源的概率；

（2）每个片区的房源都有人申请的概率.

解：（1）所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种，记“没有人申请A片区房源”为事件A，则P（A）==.

（2）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有CCC或CA种，记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有P（B）==.

在数学课堂中，采取参与式教学方式的期望是通过建设一个能充分调动学生的积极性的一种学习氛围，让每一个学生都成为实践者，让每一个学生都成为参与者. 同时让学生感受到这是属于他自己的课堂，需要他，他不是被灌输的对象.日常教学中，我们常常发现一些学生在碰到稍难一些的数学问题时会觉得“无从着手”，找不到解决问题的途径，其中一个比较突出的问题就是不善于“联想”. 爱因斯坦曾经说过：“想象力比知识更重要”. 联想是客观事物的内部规律和相互间关系在人们头脑中的反映，是“由此及彼”的思维活动，是将知识有机地联系在一起思考的思维过程. 数学学科本身就是一个有机联系的整体，这种联系不但体现在数学内部知识点间的联系上，还体现在数学思想方法和思维方式上. 因此，在数学教学中，若能引导学生有效变换视角、发散思维，调动大脑中的存储信息，联想与新知识相关的其他知识（问题、数学思想和方法），建立起它们之间的联系，架构从生疏到熟悉、从未知到已知的桥梁，必能在有效建构所学知识，将其纳入到知识网络的同时有效拓展学生的数学思维，进一步提升学生思维的灵活性和开阔度，学生的数学理解和解题能力将会得到有效的发展. 那么，在教学实践中，如何有效引发学生的联想呢？笔者以例行文，谈谈自己的做法，与同行探讨.

借助数学内部联系，引发学生联想

数学本是一个有机联系的整体.数学内部的逻辑联系，包括数学知识间的横向、纵向联系，数学问题的条件与结论之间的必然联系，数学思想方法层面的必然联系，为学生展开数学联想提供了可能. 在数学课堂教学中，特别是新知识、新方法的引入过程中，通过加强新旧知识间的联系，凸显数学思想方法的联系中开展教学，引发学生联想，揭示新旧知识间、数学思想方法间的共同因素与差异所在，是实现知识与数学思想方法迁移的有效策略.

案例1 借助几何模型探求数学问题案例

例1：（1）探求+的最小值；

（2）若a，b，c为实常数，实数x，y满足ay-bx=c≠0，探求a，b，c之间满足的关系式是什么？

对于题（1），引导学生回顾平面上两点间的距离公式（考虑逆用公式），学生马上联想到式子表示A（x，y），B（a，b）两点间的距离，从而该题即求点P（x，y）到点A（0，1）与点B（4，4）的距离之和. 对于题（2），引导学生回顾表示点A（x，y）到直线l：ay-bx=0的距离，点B（a，b）在直线l上，直线l外一点A（x，y）到直线l的距离不大于点A（x，y）到直线l上一点B（a，b）的距离，从而有=·≤，即≤1，得a2+b2≥c2.

“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟.” 在平时的教学中，要指导学生加强积累. 积累多了，遇到类似的问题就容易迁移联想到相应的思路与方法. 当然，积累不是填鸭式，不但要让学生“知其然”，更要“知其所以然”，让学生在潜移默化中通过同化或顺应的方法将其内化，形成知识网络.

依托本原问题，引发学生联想

教学中，我们在指导学生分析和解决问题的时候，不仅要关注问题本身，还应关注问题的背景、问题的基础和依据，回归问题的本原，领悟内在的本质问题，发掘知识的内在关系以及基本性质和功能，从本原问题的角度考查基本知识在知识系统中的地位和作用. 依托本原问题，在数学教学中要针对特定的数学问题，思考其“核心要素”或“基本构成”，作为解决问题的首选方法，其实质是考虑什么是该数学问题最为根本的、本质的，从而联想到基本的实为更为“通用”的解题方法.

案例2 一个基本不等式问题的解法联想

例2：正数a，b满足ab+a+b=3，求a+b的最小值.

本题在教学时，很多教师认为只需让学生联想a≥0，b≥0时，≥，即ab≤

，从而得3=ab+a+b≤

+（a+b），然后解关于a+b的二次不等式即可. 虽然这样做能够解决该题，但学生只是机械地运用均值不等式，遇到灵活一点的问题，如将“求a+b的最小值”改为“求a+2b的最小值”，许多学生就束手无策了. 因此，我们在教学时，要侧重引导学生分析：问题要求a+b的最小值，而题设中给出了a+b与ab的关系式. 要求a+b，是否可以消去ab？从而联想到均值不等式. 解题完毕后，还应引导学生进一步思考：本题中有两个元a，b，能否利用条件消去一个元？由条件，b=>0，可得ab=a

1+

=a-1++5（其中a-1>0），再利用均值不等式即可. 此解法的本质实为通过减元转化为关于a的函数的最值问题，其适用性更为广泛.

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.” 通过联想解题，要指导学生从不同的侧面分析，把握本质，深入挖掘本原问题的内涵要义. 只有抓住本原问题，知晓问题的核心所在，找准关键节点，方能如庖丁解牛，一刀下去，切中要害，从而让学生的解题活动挥洒自如.

变换审题视角，引发学生联想

不能不重视的是，某些数学教师过于强调数学解题的“熟能生巧”，布置大量的题目让学生反反复复地训练. 特别是“导学案”实施以来，教师不注重知识的生成过程的剖析，不注重例题的分析与引导的现象比比皆是，数学课堂俨然成了学生题目的“训练场”. 其实，数学题目千变万化，浩如烟海，不可能穷尽，而大量的训练反而导致许多学生在解题时赶进度，往往习惯于从单一角度去思考问题. 如果教师不及时加以纠正，长此以往，学生发散的思维将会受到束缚，造成解题思路单一，刻板僵化，不利于学生思维能力的培养. 因此，在课堂教学中，我们要发挥例题承载的思维训练的示范与引领功能，通过创设多元化的思维环境，引导学生在细致观察题目的基础上，变换审题的视角，从不同的角度思考问题，并通过深入的思考展开丰富的联想，让学生在“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的美妙境界中领悟数学问题的精髓和实质.

案例3 变换审题视角引发联想案例

例3 （2012年全国数学联赛一试第2题）设△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且满足式子acosB-bcosA=c，则的值是多少？

观察题目条件，所给等式中有角有边，引导学生发现，可化归为边或化归为角的问题，从而得下面的思路1.

思路1：（利用余弦定理）由条件，a·-b·=c，即a2-b2=c2，

从而=====4.

注意到题目条件中的acosB，可将a视作直角三角形的斜边，从而acosB即为该直角三角形的一条直角边，借助直角三角形，利用数形结合解决问题，得思路2.

思路2：如图1所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则acosB=DB，bcosA=AD，从而由条件可得DB-AD=c，又DB+AD=c，联立上述两个方程，得AD=c，DB=c，===4.

[D][A][B][C]

图1

思路3：在思路2的基础上，我们发现，直角三角形的射影定理acosB+bcosA=c，与条件acosB-bcosA=c联立，即得acosB=c，bcosA=c，从而===4.

善于从问题的条件和结论出发，或从数和形的特征等方面去捕捉信息，通过变换审题的视角，从多方面、多角度去思考问题，有助于开拓学生的解题思路，有效培养学生的思维能力.

通过问题发散，引发学生联想

问题发散即从不同方向、角度考虑解决问题的多种可能性，寻求解决问题的各种可能途径. 因此，通过问题发散引发学生联想，能够开阔学生的思路，让学生在解决问题的过程中善于分解组合和延伸拓展，这在引导学生通过迁移的方式解决复杂问题时不可或缺，也是实现化归的重要思维方式，不仅有助于学生习得变通解决问题的方法，更有利于学生思维能力的进一步提升.

案例4 正余弦函数图象的作法教学片断

先请学生回顾三角函数的定义：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则sinα=y，cosβ=x. 将其倒过来写，即y=sinα，x=cosα. 由α→角α的终边→P（x，y）知y=sinα，x=cosα（α∈R）满足函数定义，按习惯定义其为正弦函数、余弦函数.至此，我们得到了正余弦函数的解析式.现在的问题是，通过解析式，你能画出它的图象吗？提醒学生不要受课本的约束，自己独立思考.

以y=sinα，α∈[0，2π]为例：

联想在已知函数式的情况下，如何作图？学生很容易想到思路1——描点作图：取α=0，，，，，，，，π，...，2π. 列表，描点，平滑曲线连结（说明作图的本质：特殊点法，得到大致图象）.

教师再引导学生回顾三角函数线定义，sinα=MP，联想到思路2——通过测量角的大小（即单位圆中角α对应的弧长）和MP的长，结合初中知识利用尺规作图（可仿照教材把单位圆进行分割，找角及对应的正弦线）. 引导学生思考：此作法与思路1本质相同，仍为特殊点法. 那么，能否给出一个更精确的方法呢？从而联想到思路3——借助几何画板作图得精确图象，如图2. 在学生欣赏的同时，让学生注意观察，掌握图象（曲线）的大致走向，给出问题：平时我们利用图象解题，在图象大致把握标准的前提下，需要提高效率，该如何操作？学生观察发现其中五个点非常关键：波峰、波谷和平衡位置的三个点，从而联想到思路4——五点法作图.

上述案例中，教师在教学时注意数学方法的迁移，不但有助于数学问题的解决，更有助于方法的深化与发展. 潜移默化之中，学生的思维方式将会得到有效的锻炼.

在数学教学中，引导学生通过分析问题的条件、结论的结构特征，引发学生联想，让学生在不同的知识模块之间、不同思想方法层面适时、灵活地转换，让学生的思维层层递进的同时深刻体味数学知识广泛与普遍的联系、和谐与辩证的统一，从而提高学生灵活运用数学知识解决问题的能力和数学思维能力，进而有效提升学生的数学学科素养.