一道题引发对判别式解决曲线交点问题的探讨

项鸣晓

摘 要：本文从一道作业题出发，探讨了解决曲线交点问题的方法，得出判别式法是解决此类问题的通法.

关键词：曲线交点；判别式

在学习平面解析几何中，最重要的是树立解析思想，用代数的方法解决几何问题，以及在代数运算过程中表达了怎么样的几何现象. 例如两曲线交点问题，曲线C1：f（x，y）=0与曲线C2：g（x，y）=0有交点的充要条件是方程组f（x，y）=0 （1）

g（x，y）=0 （2）有实数解，而通常情况下，我们是消元转化为一元二次方程，再利用判别式法来讨论实数解的情况，这样的转化是否等价呢？刊物上不断有文章对曲线交点问题提出新的解决方法，而解决此类问题的通法为判别式法，下面是笔者由教学中的一道作业题引发对此法的探讨.

问题引出

例题：若双曲线-=1与圆x2+y2=1有公共点，求k的取值范围.

解：法1：双曲线的焦点在x轴上，由数形结合易知a=3k≤1，解得-≤k≤.

法2：由双曲线方程知x2=

产生疑问

（1）对于以前讨论直线与二次曲线交点问题，不管消x还是消y，结论都是一样的，此法是不是对讨论直线与二次曲线交点问题都适用呢？

（2）对于此例题为二次曲线与二次曲线交点问题，法1的解法显而易见是对的，为什么法2—法5分别用了判别式法而得到不同的答案呢？是不是判别式法对二次曲线与二次曲线交点问题只适用于消x呢？

（3）法2—法5中Δ≥0，保证了消元后的方程有解，但能否保证其解为两曲线交点呢？若不能保证，则需要加上怎么样的条件呢？

（4）再探发现双曲线方程中x∈（-∞，-3k]∪[3k，+∞），y∈R，圆方程中x∈[-1，1]， y∈[-1，1].如果双曲线与圆有公共点时，是否受到这些范围的限制呢？公共点的横坐标或者纵坐标的取值范围究竟如何取呢？是取其大范围还是小范围部分呢？

解答疑问

在解方程组f（x，y）=0 （1）

g（x，y）=0 （2） 时，其方法实质上是代入消元法，若由（1）式可解出y=h（x）（3），而（1）式中x是有取值范围限制的，记此取值范围为D. 将（3）代入（2）得g[x，h（x）]=0（4），由（4）可求出x0，若x0∈D，易知（x0，h（x0））即为曲线（1）（2）的交点；若x0?D，则x0不为两曲线交点，也就是说两曲线交点横坐标不仅应满足（4）式，而且受到（1）式中x的取值范围限制. 因此若g[x，h（x）]=0为一元二次方程，求解时不仅要考虑判别式，还需考虑其根是否属于D.

由此我们可以对上述疑问一一解答.

直线与二次曲线交点问题中，直线方程中，不管x还是y，取值范围都是R，所以我们把直线方程代入二次曲线方程中，不管消x还是消y，得到的一元二次方程，只需Δ≥0即可. 所以判别式法对讨论直线与二次曲线交点问题都适用. 对于例题中二次曲线与二次曲线交点问题，法2是正确的，因为双曲线中y∈R，所以我们只需考虑判别式即可. 而法3—法5只考虑判别式是不够的，扩大了取值范围，求出的交点不一定是两二次曲线的交点.

解题感悟

《对判别式讨论曲线交点方法的反思》一文中给出的解答是要被代换式子中x或y的取值范围，而法2和法4，法3和法5最后消元得到的一元二次方程却是相同的，所以不免有想法，是不是应该看他们两个式子中横坐标或者纵坐标的较大范围即可呢？有待于进一步研究！

延伸应用

下列问题是一类有关最值的问题，我们可以采用二次函数求最值的方法求解，不妨改变一下解题策略，把问题转化为两曲线相切问题来求解，我们发现别有一番意境.

（1）设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，已知点P

0，

到这个椭圆上的点的最远距离为，求此椭圆方程.

（2）已知椭圆C：+=1的焦点为F1，F2，在直线l：x-y+9=0上找一点M，求以F1，F2为焦点，经过M并且长轴最短的椭圆方程.

（3）双曲线的两个交点分别是F1（0，-2），F2（0，2），点P（1，0）到此双曲线上的点的最近距离为，求此双曲线方程.

（4）A，B分别为在圆x2+（y-3）2=1和双曲线x2-y2=1上运动，求AB的最小值.

（5）A，B分别为在圆x2+（y-6）2=5和椭圆+=1上运动，求AB的最大值.