数学教学中引发学生有效联想策略

刘宏业

摘 要：联想是客观事物的内部规律和相互间关系在人们头脑中的反映，是“由此及彼”的思维活动，是将知识有机地联系在一起思考的思维过程. 在数学教学中，引导学生通过分析问题的条件、结论的结构特征，引发学生联想，让学生在不同的知识模块之间适时、灵活地转换，让学生的思维层层递进的同时深刻体味数学知识广泛与普遍的联系、和谐与辩证的统一，从而提高学生灵活运用数学知识解决问题的能力和数学思维能力.

关键词：数学教学；有效联想；策略

在日常教学中，我们常常发现一些学生在碰到稍难一些的数学问题时会觉得“无从着手”，找不到解决问题的途径，其中一个比较突出的问题就是不善于“联想”. 爱因斯坦曾经说过：“想象力比知识更重要”. 联想是客观事物的内部规律和相互间关系在人们头脑中的反映，是“由此及彼”的思维活动，是将知识有机地联系在一起思考的思维过程. 数学学科本身就是一个有机联系的整体，这种联系不但体现在数学内部知识点间的联系上，还体现在数学思想方法和思维方式上. 因此，在数学教学中，若能引导学生有效变换视角、发散思维，调动大脑中的存储信息，联想与新知识相关的其他知识（问题、数学思想和方法），建立起它们之间的联系，架构从生疏到熟悉、从未知到已知的桥梁，必能在有效建构所学知识，将其纳入到知识网络的同时有效拓展学生的数学思维，进一步提升学生思维的灵活性和开阔度，学生的数学理解和解题能力将会得到有效的发展. 那么，在教学实践中，如何有效引发学生的联想呢？笔者以例行文，谈谈自己的做法，与同行探讨.

借助数学内部联系，引发学生联想

数学本是一个有机联系的整体.数学内部的逻辑联系，包括数学知识间的横向、纵向联系，数学问题的条件与结论之间的必然联系，数学思想方法层面的必然联系，为学生展开数学联想提供了可能. 在数学课堂教学中，特别是新知识、新方法的引入过程中，通过加强新旧知识间的联系，凸显数学思想方法的联系中开展教学，引发学生联想，揭示新旧知识间、数学思想方法间的共同因素与差异所在，是实现知识与数学思想方法迁移的有效策略.

案例1 借助几何模型探求数学问题案例

例1：（1）探求+的最小值；

（2）若a，b，c为实常数，实数x，y满足ay-bx=c≠0，探求a，b，c之间满足的关系式是什么？

对于题（1），引导学生回顾平面上两点间的距离公式（考虑逆用公式），学生马上联想到式子表示A（x，y），B（a，b）两点间的距离，从而该题即求点P（x，y）到点A（0，1）与点B（4，4）的距离之和. 对于题（2），引导学生回顾表示点A（x，y）到直线l：ay-bx=0的距离，点B（a，b）在直线l上，直线l外一点A（x，y）到直线l的距离不大于点A（x，y）到直线l上一点B（a，b）的距离，从而有=·≤，即≤1，得a2+b2≥c2.

“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟.” 在平时的教学中，要指导学生加强积累. 积累多了，遇到类似的问题就容易迁移联想到相应的思路与方法. 当然，积累不是填鸭式，不但要让学生“知其然”，更要“知其所以然”，让学生在潜移默化中通过同化或顺应的方法将其内化，形成知识网络.

依托本原问题，引发学生联想

教学中，我们在指导学生分析和解决问题的时候，不仅要关注问题本身，还应关注问题的背景、问题的基础和依据，回归问题的本原，领悟内在的本质问题，发掘知识的内在关系以及基本性质和功能，从本原问题的角度考查基本知识在知识系统中的地位和作用. 依托本原问题，在数学教学中要针对特定的数学问题，思考其“核心要素”或“基本构成”，作为解决问题的首选方法，其实质是考虑什么是该数学问题最为根本的、本质的，从而联想到基本的实为更为“通用”的解题方法.

案例2 一个基本不等式问题的解法联想

例2：正数a，b满足ab+a+b=3，求a+b的最小值.

本题在教学时，很多教师认为只需让学生联想a≥0，b≥0时，≥，即ab≤

，从而得3=ab+a+b≤

+（a+b），然后解关于a+b的二次不等式即可. 虽然这样做能够解决该题，但学生只是机械地运用均值不等式，遇到灵活一点的问题，如将“求a+b的最小值”改为“求a+2b的最小值”，许多学生就束手无策了. 因此，我们在教学时，要侧重引导学生分析：问题要求a+b的最小值，而题设中给出了a+b与ab的关系式. 要求a+b，是否可以消去ab？从而联想到均值不等式. 解题完毕后，还应引导学生进一步思考：本题中有两个元a，b，能否利用条件消去一个元？由条件，b=>0，可得ab=a

1+

=a-1++5（其中a-1>0），再利用均值不等式即可. 此解法的本质实为通过减元转化为关于a的函数的最值问题，其适用性更为广泛.

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.” 通过联想解题，要指导学生从不同的侧面分析，把握本质，深入挖掘本原问题的内涵要义. 只有抓住本原问题，知晓问题的核心所在，找准关键节点，方能如庖丁解牛，一刀下去，切中要害，从而让学生的解题活动挥洒自如.

变换审题视角，引发学生联想

不能不重视的是，某些数学教师过于强调数学解题的“熟能生巧”，布置大量的题目让学生反反复复地训练. 特别是“导学案”实施以来，教师不注重知识的生成过程的剖析，不注重例题的分析与引导的现象比比皆是，数学课堂俨然成了学生题目的“训练场”. 其实，数学题目千变万化，浩如烟海，不可能穷尽，而大量的训练反而导致许多学生在解题时赶进度，往往习惯于从单一角度去思考问题. 如果教师不及时加以纠正，长此以往，学生发散的思维将会受到束缚，造成解题思路单一，刻板僵化，不利于学生思维能力的培养. 因此，在课堂教学中，我们要发挥例题承载的思维训练的示范与引领功能，通过创设多元化的思维环境，引导学生在细致观察题目的基础上，变换审题的视角，从不同的角度思考问题，并通过深入的思考展开丰富的联想，让学生在“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的美妙境界中领悟数学问题的精髓和实质.

案例3 变换审题视角引发联想案例

例3 （2012年全国数学联赛一试第2题）设△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且满足式子acosB-bcosA=c，则的值是多少？

观察题目条件，所给等式中有角有边，引导学生发现，可化归为边或化归为角的问题，从而得下面的思路1.

思路1：（利用余弦定理）由条件，a·-b·=c，即a2-b2=c2，

从而=====4.

注意到题目条件中的acosB，可将a视作直角三角形的斜边，从而acosB即为该直角三角形的一条直角边，借助直角三角形，利用数形结合解决问题，得思路2.

思路2：如图1所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则acosB=DB，bcosA=AD，从而由条件可得DB-AD=c，又DB+AD=c，联立上述两个方程，得AD=c，DB=c，===4.

[D][A][B][C]

思路3：在思路2的基础上，我们发现，直角三角形的射影定理acosB+bcosA=c，与条件acosB-bcosA=c联立，即得acosB=c，bcosA=c，从而===4.

善于从问题的条件和结论出发，或从数和形的特征等方面去捕捉信息，通过变换审题的视角，从多方面、多角度去思考问题，有助于开拓学生的解题思路，有效培养学生的思维能力.

通过问题发散，引发学生联想

问题发散即从不同方向、角度考虑解决问题的多种可能性，寻求解决问题的各种可能途径. 因此，通过问题发散引发学生联想，能够开阔学生的思路，让学生在解决问题的过程中善于分解组合和延伸拓展，这在引导学生通过迁移的方式解决复杂问题时不可或缺，也是实现化归的重要思维方式，不仅有助于学生习得变通解决问题的方法，更有利于学生思维能力的进一步提升.

案例4 正余弦函数图象的作法教学片断

先请学生回顾三角函数的定义：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则sinα=y，cosβ=x. 将其倒过来写，即y=sinα，x=cosα. 由α→角α的终边→P（x，y）知y=sinα，x=cosα（α∈R）满足函数定义，按习惯定义其为正弦函数、余弦函数.至此，我们得到了正余弦函数的解析式.现在的问题是，通过解析式，你能画出它的图象吗？提醒学生不要受课本的约束，自己独立思考.

以y=sinα，α∈[0，2π]为例：

联想在已知函数式的情况下，如何作图？学生很容易想到思路1——描点作图：取α=0，，，，，，，，π，...，2π. 列表，描点，平滑曲线连结（说明作图的本质：特殊点法，得到大致图象）.

教师再引导学生回顾三角函数线定义，sinα=MP，联想到思路2——通过测量角的大小（即单位圆中角α对应的弧长）和MP的长，结合初中知识利用尺规作图（可仿照教材把单位圆进行分割，找角及对应的正弦线）. 引导学生思考：此作法与思路1本质相同，仍为特殊点法. 那么，能否给出一个更精确的方法呢？从而联想到思路3——借助几何画板作图得精确图象，如图2. 在学生欣赏的同时，让学生注意观察，掌握图象（曲线）的大致走向，给出问题：平时我们利用图象解题，在图象大致把握标准的前提下，需要提高效率，该如何操作？学生观察发现其中五个点非常关键：波峰、波谷和平衡位置的三个点，从而联想到思路4——五点法作图.

上述案例中，教师在教学时注意数学方法的迁移，不但有助于数学问题的解决，更有助于方法的深化与发展. 潜移默化之中，学生的思维方式将会得到有效的锻炼.

在数学教学中，引导学生通过分析问题的条件、结论的结构特征，引发学生联想，让学生在不同的知识模块之间、不同思想方法层面适时、灵活地转换，让学生的思维层层递进的同时深刻体味数学知识广泛与普遍的联系、和谐与辩证的统一，从而提高学生灵活运用数学知识解决问题的能力和数学思维能力，进而有效提升学生的数学学科素养.