输入率可变且有差错服务的M／M／1排队系统的研究与应用

潘全如

（江苏科技大学数理学院，镇江 212003）

输入率可变且有差错服务的M／M／1排队系统的研究与应用

潘全如

（江苏科技大学数理学院，镇江 212003）

在到达系统的顾客数不变的情况下，顾客到达系统但是否进入系统接受服务对销售行业影响是巨大的.从排队长度对顾客输入率的影响着手，研究了顾客以泊松流到达系统，而到达系统的顾客进入系统接受服务的概率与队长有关的M／M／1排队模型，且系统服务会出差错.得出了进入系统的顾客流是泊松过程，且系统中的顾客数是生灭过程，并获得了该模型的平稳分布、顾客的平均输入率、系统的平均服务强度等多项指标，为销售行业调整自己的服务速度以影响排队长度及顾客输入率，进而提高自己的销售业绩提供了很有价值的参考.

可变输入率；M／M／1；生灭过程；平稳分布

1 引 言

在顾客到达系统寻求服务时，常因商品质量、服务态度、排队等候服务的队列长短等因素的影响而决定是否要进入系统.就队列长度而言，若队列较短，则顾客加入队列进入系统的可能性就大，反之则小.而进入系统接受服务的顾客数量对销售行业的销售业绩影响是巨大的，从而会进一步影响到利润.因此，输入率的研究对于销售业就显得尤为重要［1-7］.

2 模型假设

（i）顾客到达系统的时间间隔服从参数为λ的指数分布；

（iii）系统中只有一个服务窗口，但容量为＋∞；

（iv）系统对每个顾客的服务时间T服从参数为μ的指数分布；

（v）系统每次服务的平均正确率为p；

（vi）顾客到达时间与服务过程相互独立.

3 数学模型

定理2 系统中的顾客数｛N（t），t≥0｝是齐次马氏链.

这是因为到达时间间隔与服务时间均服从指数分布，有指数分布的无记忆性知：过程经过一段时间后，剩余到达时间及剩余服务时间的分布与原有分布相同.因此在任何时间内状态的转移概率与时间起点无关，仅与时间长度有关，所以该过程为齐次马氏链.

定理3 时刻t（t≥0）系统中顾客数（包括正在被服务的）｛N（t），t≥0｝是状态空间E＝｛0，1，2…｝上的生灭过程，其参数为

4 平稳分布

证｛N（t），t≥0｝的状态转移如图1所示.

图1 状态转移图

由状态转移图可得出K氏方程［8］：

对0状态，有λp0＝μpp1，得

5 系统的几个重要指标

6 应 用

对于销售性企业或零售商店，可以统计出顾客平均到达率λ，进入系统的概率αk，服务正确率p，服务速率μ，把他们代入到上述模型中去，不难算出平均队长、系统的损失概率等指标，这里不再赘述.需要说明的是，企业或零售商店是否有重视进入系统的概率αk、是否意识到αk与商品质量、数量、服务态度等因素有关且这些因素是可以人为调整的，尤其是直接影响排队长度（除非是紧缺商品，否则排队长度对αk影响很大）的服务速度.对于不同的服务速度对应着不同的队长及不同的αk，从而有着不同的利润收益.在本文中，仅以队长对αk的影响作了探讨.本文可以进一步探讨的问题有如何调整服务速度以保证获得较高的αk；如果增加服务人员，那么因新增加的服务人员带来的收益与支出谁大谁小，如果需要增加服务员，增加多少个服务员才是最佳的等等.

［1］ 刘宇民李晓芬，等.具有可变输入率的M／M／n模型的常微分方程形式［J］.Journal of Tai Yuan University of Science and Technology，2006，27（6）：438-440.

［2］ 台文志.具有可变输入率的M／M／1排队模型的一个注解［J］.西南民族大学学报（自然科学版），2009，35（3）：485-488.

［3］ 谭畅.具有可变输入率的M／M／1排队系统的研究［J］.贵州大学学报（自然科学版），2008，25（5）：445-448.

［4］ 刘宇民.可变输入率的M／M／1模型主算子的谱性质［J］.太原师范大学学报（自然科学版），2008，7（3）：23-25.

［5］ 台文志.一类具有可变输入率的M／M／1排队模型［J］.重庆师范大学学报（自然科学版），2009，26（1）：69-72.

［6］ 陆传赍.排队论［M］.北京：北京邮电大学出版社，1994..

［7］ 孟玉珂.排队论基础及应用［M］.上海：同济大学出版社，1989..

［8］ 唐应辉，唐小我.排队论［M］.北京：科学出版社2006..

The Rsearch and Aplication of M／M／1 Queuing Model with Variable Input Rates

PAN Quan-ru
（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Science and Technology，Zhenjiang 212003，China）

The customers do not necessarily get into the system though arriving at the system in the case of the number of customers is fixed，which influences sales enormous.This paper researches the influence of queue length to input rate，and sets up a kind of M／M／1 queuing model as such：the customers reach system at Poisson flow.But they do not necessarily get into the system though arriving at the system.While the probability they getting into the system is connected with the queue length，and the system works wrongly some time.This paper draws aconclusion that the number of customers who getting into the system is a Poisson flow，and the number of customers in the system is abirthand-death process，also draws that the stationary distribution of this model、the average customer arrival rate、the average intensity of the system and so on，which provides a valuable reference for the retail industry to adjust their service speeds in order to influence the rate of queue length and customer input，and thus improve their sales performance.

variable input rate；M／M／1；birth-and-death process；stationary distribution

O226

A

1672-1454（2012）04-0102-05

2010-03-18；

2010-06-24

江苏省高校自然科学基金资助项目（10KJB110003）；江苏科技大学青年基金项目（2009SL154J）