随机利率Vasicek模型下的欧式缺口期权的定价研究

张 艳， 周圣武， 韩 苗， 索新丽

（中国矿业大学理学院，徐州 221116）

随机利率Vasicek模型下的欧式缺口期权的定价研究

张 艳， 周圣武， 韩 苗， 索新丽

（中国矿业大学理学院，徐州 221116）

研究随机利率Vasicek模型下欧式缺口期权的定价问题，利用偏微分方程方法给出了欧式缺口看涨期权和看跌期权的定价公式，并且是Vasicek利率模型下标准欧式期权定价公式的一种推广.

Vasicek利率模型；缺口期权；期权定价

1 引 言

对相机权益进行定价是金融数学领域内的既有理论意义又有实用价值的重要问题之一.Black－Scholes模型［1］是期权定价理论最基本的数学模型，其定价方程的推导是建立在六条基本假设［2］基础上的，其中关于利率是常数的假设与现实实际相差甚远.利率是影响金融市场变化最基本的因子，利率风险来源于利率的随机波动性.使用市场利率模型更加符合实际，可以减少因为利率变动对期权价值估计的偏差，更好地反映出期权的价值.目前已有 一些金融专家和学者研究了利率为随机变量时，期权的定价问题.比如在姜礼尚［4］的一书中已经给出了随机利率Vasicek模型下的标准欧式期权的定价公式，姚落根等在文献［5］中给出了随机利率模型下欧式极值期权的显示表达式，徐根新在文献［6］中给出了Vasicek利率模型下欧式看涨外汇期权的定价公式，王亚伟在文献［7］研究了函数型利率模型下欧式买权的定价问题.当利率为随机变量时，目前虽然已有了一些结果，但有些衍生产品的定价问题还没有解决，本文作者在文献［8］中解决了市场满足六条基本假设下的欧式缺口期权的定价问题，本文将在随机利率vasicek模型下继续研究欧式缺口期权的定价问题.

文中假定借贷利率是随机的，且满足Vasicek利率模型［2，3］，考虑影响利率的随机因素与影响股票价格的随机因素具有相关性的条件下，利用偏微分方程方法推导出了欧式缺口期权的定价公式，并且是Vasicek利率模型下标准欧式期权定价公式的一种推广.

2 预备知识

缺口期权（Gap Option）与标准期权的区别在于，在到期日计算期权价值时，缺口期权不是用标的资产价格ST与执行价格K进行比较，而是与另一个常数G（以下称G为缺口）作比较，以看涨期权为例，对于标准欧式期权，其到期日的价值为cT＝max（ST－K，0），对于欧式缺口看涨期权，它在到期日的价值为

其中G为缺口参数，IA为示性函数.文献［8］已给出了Black－Scholes模型假设下的欧式缺口期权的定价公式，本文考虑随机利率下的欧式缺口期权的定价问题.

现在考虑一个可连续交易的风险资产（通常为股票）的价格St的行为模式.在风险中性概率测度Q下，其价格满足随机微分方程

其中无风险利率r（t）由Vasicek模型给出，σ1为股票价格的波动率，W1t为标准Brown运动.在风险中性假设下，利率r（t）满足Vasicek模型［2，3］

作为利率载体的零息票，是一张在到期日T时刻换取1元现金的债券，零息票债券的价格过程Pt＝P（rt，t，T）满足

若无风险利率r（t）由Vasicek利率模型（3）确定，利用风险中性估值原理，零息票的价值Pt＝P（rt，t，T）［2］为

引理1［4］若随机利率r（t）由Vasicek模型（3）确定，则零息票债券价格P（rt，t，T）适合以下偏微分方程Cauchy问题

3 欧式缺口期权的定价公式

设股票的价格过程St由（2）给出，随机利率r（t）由Vasicek模型（3）确定，零息票债券价格Pt由（4）式给出，姜礼尚已在文献［4］中给出了随机利率Vasicek模型下的期权价值所满足的偏微分方程.此处设cG＝cG（St，rt，t）是欧式缺口看涨期权在t时刻的价格，其到期日的支付函数由（1）确定，于是可以得到随机利率Vasicek模型下的欧式看涨缺口期权价格适合如下定解问题

在利用偏微分方程方法给出问题（6）的解析解之前，我们需要先解决无风险利率r为常数时的欧式缺口期权的定价问题.在文献［8］中我们已经利用风险中性概率的方法得到了欧式缺口期权的定价公式，于是我们易得下面两个定理.

定理1当无风险利率r为常数时，基于标的价格过程（2）的欧式缺口看涨期权的价格V（t，St）所适合的定解问题

定理2当无风险利率r为常数时，基于标的价格过程（2）的欧式缺口看跌期权的价格所适合的定解问题

其中di，d′i与定理2中同.

有了上述结果，我们便可以给出随机利率Vasicek模型下的欧式缺口看涨和看跌期权的定价公式.

定理3随机利率Vasicek模型下的欧式缺口股票看涨期权在t时刻的价值为

返回到初始变量，便可得到该期权在t时刻的价值为

仿照定理3的推导，可得下面的定理4.

定理4随机利率Vasicek模型下的欧式缺口股票看跌期权在t时刻的价值为

特别地，当G＝K时，＾di＝＾d′i.于是可以得到下面的结论.

定理5当G＝K时，欧式缺口看涨期权和看跌期权的定价公式便退化为

注 （i）公式（17）和（18）恰恰是随机利率Vasicek模型下标准欧式看涨和看跌期权的定价公式，可见定理3和4的结论是Vasicek模型下标准欧式期权定价公式的一个扩展.

（ii）在Vasicek模型中，当a＝0，σ2＝0时，随机利率模型便退化为常利率，此时定理3和4的结论便可以退化为文献［8］中的结论.

［1］Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of political Economy，1973，81（3）：637－659.

［2］Hull J C.Options，Futures，and Other Derivatives（第5版）［M］.北京：清华大学出版社，2006：539－541.

［3］Vasicek Oldrich，An equilibrium characterization of the term structure［J］.Journal of financial economics，1977（5）：177－188.

［4］姜礼尚等著.金融衍生产品定价的数学模型与案例分析［M］.北京：高等教育出版，2007：42－54.

［5］姚落根，胡桔州，刘平兵.随机利率模型下欧式极值期权的定价［J］.湖南文理学院学报（自然科学版），2005，17（4）：6－8，11.

［6］徐根新.Vasicek利率模型下欧式看涨外汇期权定价分析［J］.同济大学学报（自然科学版），2006，34（4）：552－556.

［7］王亚伟，黎锁平，江洪.函数Vasicek利率模型下欧式买权定价的研究［J］.甘肃科学学报，2008，20（1）：28－31.

［8］张艳，孙彤.关于欧式缺口期权定价模型的研究［J］.徐州师范大学学报（自然科学版），2006，24（4）：44－47.

Study on European Gap Option Pricing under Vasicek Interest Rate Model

ZhangYan，ZhouSheng－wu，HanMiao，SuoXin－li
（College of Science，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221116，China）

The European gap option pricing problem under Vasicek interest rate model was studied.By use of the PDE method，the pricing formulas of European gap call option and European gap put option were obtained respectively.What’s more，these pricing formulas are generalization of European standard option pricing formulas.

Vasicek interest rate model；gap option；option pricing

F830.9

A

1672－1454（2012）04－0098－04

2009－10－19；［修改日期］2010－04－16