与过程相联系的σ-代数流

罗建华， 冯志明

（1.中南林业科技大学理学院，长沙 410004； 2.乐山师范学院数学系，乐山 614000）

与过程相联系的σ-代数流

罗建华1， 冯志明2

（1.中南林业科技大学理学院，长沙 410004； 2.乐山师范学院数学系，乐山 614000）

讨化了σ-代数流的结构，并给出其一般性的结果；归纳出各σ-代数流的相互关系；最后介绍其两个简单应用.

π系；σ-代数流；停时；两参数随机过程；鞅

1 引 言

σ-代数流的概念散见于各概率论、随机过程的专著及论文中，但由于一般将其作为常识性知识，对其结构关系未充分重视.受无穷乘积可测空间构造的启发，本文对σ-代数流的结构作了探讨，并给出了一般性结果，藉此全面准确理解各σ-代数流的关系.

2 预备知识

设（Ω，F，P）是完备的概率空间，X＝｛Xt，t∈T｝是其上的实值随机过程（T＝［0，∞）），可测空间（E，ε）＝（R1，B1）为其状态空间（相空间）.

引理1 设f：（Ω，F）→（E，E）为可测映射，f-1（E）是Ω中的σ-代数（称之为由f导出的σ-代数）.由此，若记σ（f）＝f-1（E），则σ（f）是σ-代数，且σ（f）⊂F.

特别地，若X＝｛Xt，t∈T｝是随机过程，则对∀t∈T，由Xt产生的σ-代数记为σ（Xt），显然σ（Xt）⊂F.

注 f-1（E）＝｛f-1（B）；B∈E｝.

定义1 （i）称F的子σ-代数族｛Ft，t≥0｝为σ-代数流，如果Fs⊂Ft，0≤s≤t.特别称σ-代数流｛Nt，t≥0｝为随机过程｛Xt，t≥0｝的自然σ-代数流（随机过程产生的σ-代数流），其中Nt＝σ（Xs，s≤t）.记N＝σ（Xt，t≥0）.

（ii）称随机过程｛Xt，t≥0｝关于σ-代数流｛Ft，t≥0｝为适应的（简称｛Xt｝为｛Ft｝适应过程），如果对每一t≥0，Xt是Ft可测（记作Xt∈Ft）.

注 若｛Fα，α∈Γ｝为F的一族子σ-代数，则其交Fα仍为σ-代数，但其并Fα一般不再是σ-代数，我们以Fα表示由它所产生的σ-代数σ（Fα）.

定义2 称定义在可测空间（Ω，F）上的非负可测函数τ（ω）（可取＋∞为值）为关于F的子σ-代数流｛Ft，t≥0｝的停时（可选时），如果对∀t≥0，有

引理2 设τ为｛Ft｝停时，令

则Fτ为σ-代数（称之为伴随停时τ的σ-代数，也称τ前σ-代数）.

显然有Fτ⊂F∞⊂F.Fτ可理解为过程到τ为止的全部信息.

为使讨论引向深入，下面介绍两参数随机过程的有关记号、概念：

3 主要结果

推论1 N＝σ（Xt，t∈T）＝σ（Π），其中Π＝｛（Xti∈Γi，1≤i≤n）；Γi∈ε，ti∈T，n≥1｝.

证将定理1证明过程中的“s≤t，s∈T”改为“t∈T”便得证.

推论2 Nt＝σ（Xs，s≥t）＝σ（Π），其中Π＝｛（Xti∈Γi，1≤i≤n）；Γi∈ε，ti≥t，n≥1｝.

证将定理1证明过程中的“s≤t，s∈T”改为“s≥t，s∈T”便得证.

推论3 N＝σ（Xu，s≤u≤t）＝σ（Π），其中Π＝｛（Xti∈Γi，1≤i≤n）；Γi∈ε，s≤ti≤t，n≥1｝.

证将定理1证明过程中的“s≤t，s∈T”改为“s≤u≤t，u∈T”便得证.

定理2 （i）若｛Xt｝为｛Ft｝适应过程，则Nt⊂Ft，N⊂Ft，0≤s≤t；

（ii）对∀0≤s≤t，有Ns⊂Nt⊂N，Nt⊂Ns⊂N；

（iii）若ti≤t，i＝1，2，…，n，则σ（Xt1，…，Xtn）⊂Nt＝σ（Xs，s≤t）；

（iv）若｛Xt｝为｛Ft｝适应过程，则N＝σ（Xt，t∈T）⊂F.

证（i）对任意0≤s≤t，有Xs∈Fs⊂Ft，所以Xs∈Ft，即σ（Xs）⊂Ft，又因为Nt＝σ（Xs，s≤t），故Nt⊂Ft.类似可得⊂Ft.

（ii）结论显然成立.

定理3 （i）设τ∈T，则τ为Fτ可测；

（ii）若τ1，τ2∈T，且τ1≤τ2，则Fτ1⊂Fτ2.

证（i）由引理2知Fτ为σ-代数.对∀s∈T，显然（τ≤s）∈F∞，又（τ≤s）∩（τ≤t）＝（τ≤s∧t）∈Fs∧t⊂Ft，t∈T，其中s∧t＝min（s，t），故（τ≤s）∈Fτ，即τ关于Fτ可测.

（ii）设A∈Fτ1，则A∈F∞，且A∩（τ1≤t）∈Ft，t∈T，从而A∩（τ2≤t）＝A∩（τ2≤t）∩（τ1≤t）＝［A∩（τ1≤t）］∩（τ2≤t）∈Ft，t∈T.故A∈Fτ2，因此Fτ1⊂Fτ2.

注 由引理2和定理3（ii）及定义1，｛Fτ，τ∈T｝显然是σ-代数流.

定理4 设τ为｛Nt｝停时，｛Xt｝为｛Ft｝适应过程，则Nτ⊂Fτ.

证一方面（τ≤t）∈Nt⊂Ft，得τ为｛Ft｝停时；另一方面，设A∈Nτ，则A∈F∞，A∩（τ≤t）∈Nt⊂Ft，∀t≥0，即得A∈Fτ，故Nτ⊂Fτ.

下面是关于两参数随机过程的σ-代数流若干结果.

证类似于定理1之证明.

定理6 若｛X（z），z∈｝关于σ-代数流｛Fz，z∈T｝为适应过程，即X（z）∈Fz，则⊂Fz.

证因为σ（X（z））⊂σ（X（y），y≤z）＝，所以X（z）∈，故⊂Fz.

类似于定理2所列举的关系，两参数随机过程也有相应关系，此处不再详述.

注 本文中未加说明之处均为单参数随机过程情形.

4 结束语

Ft（Fτ）—t（τ）前事件σ-代数，表示到t（τ）为止的全部信息，也即［0，t］（［0，τ］）中的全部信息，那么｛Ft，t∈T｝（｛Fτ，τ∈T｝）σ-代数流也就成为信息流，凡涉及此类现象的问题，诸如Markov过程，Martingale过程等，均须运用σ-代数流加以讨论.

定义4 如果对于一切0≤s≤t及Γ∈E，有

其中P（·｜Xs）＝P（·｜σ（Xs）），就称关于σ-代数流｛Ft，t≥0｝适应的过程｛Xt，t≥0｝为Markov过程.此时记｛Xt，Ft，t≥0｝为Markov过程.

以此定义为基础，借助于σ-代数流的关系，我们很容易得出以下结论：

例1 若｛Xt，Ft，t≥0｝是Markov过程，则｛Xt，Nt，t≥0｝也是Markov过程.

事实上，在（1）两边取关于Ns的条件期望，由Ns⊂Fs⊂F，σ（Xs）⊂Ns⊂F，并利用重条件期望公式，得

即｛Xt，Nt，t≥0｝是Markov过程.

对任意有限多个0≤t1＜t2＜…＜tn及Γ∈ε，令t＝tn，s＝tn-1，对（2）的两边取关于σ（Xt1，…，Xtn-1）的条件期望，由重条件期望公式得：｛Xt，t≥0｝是Markov过程的充分必要条件

证明见文献［2］.

定义5 适应过程｛Xt，Ft，t∈T｝称为鞅（Martingale），如果对∀t∈T，E｜Xt｜＜∞，且对T中任意s＜t，有

如将上式“＝”换成“≤”，“≥”，相应得上（下）鞅.

以此定义为基础，借助于σ-代数流的关系，我们很容易得出以下结论：

例2 设｛Xt，t≥0｝是Wiener过程且是标准马氏过程，令Nt＝σ（Xs，s≤t），则过程｛-t，Nt，t≥0｝关于概率测度Px，x∈R1是鞅.

因此得证｛Yt，Nt，t≥0｝关于Px是鞅.

可见，σ-代数流的结构关系在Markov过程，Martingale过程的研究中起着重要的作用.σ-代数流已成为现代概率论和随机过程论中最基本的概念［9，10］.

［1］ 严士健，王隽骧，刘秀芳.概率论基础［M］.2版.北京：科学出版社，2009.

［2］ 李漳南，吴荣.随机过程教程［M］.北京：高等教育出版社，1987.

［3］ 黄志远.随机分析学基础［M］.北京：科学出版社，2001.

［4］ 杨向群，李应求.两参数马尔可夫过程论［M］.长沙：湖南科学技术出版社，1995.

［5］ 王梓坤.随机过程通论（上，下）［M］.北京：北京师范大学出版社，1996.

［6］ 王寿仁.概率论基础和随机过程［M］.北京：科学出版社，1986.

［7］ 钱敏平，龚光鲁.随机过程论［M］.北京：北京大学出版社，1997.

［8］ 胡迪鹤.随机过程基础·理论·应用［M］.武汉：武汉大学出版社，2000.

［9］ 汪嘉冈.现代概率论基础［M］.上海：复旦大学出版社，1988.

［10］ Olav Kallenberg.Foundations of Modern Probability［M］.Springer-Verlag，2001.

［11］ Chung Kailai.Lectures from Markov Processes to Brownian Motion［M］.New York：Springer-Verlag，1982.

Filtrations Associated with Process

LUO Jian-hua1， FENG Zhi-ming2
（1.College of Sciences，Central South University of Forestry and Technology，Changsha 410004，China；2.Department of Mathematics，Leshan Teachers College，Leshan 614000，China）

The structures of filtrations are discussed，and the general results are given.The interrelationships of a few filtrations are generalized.Finally two brief applications of filtrations are introduced.

π-system；filtrations；stopping tiom；two-parameter stochastic process；Martingale

O211.62

A

1672-1454（2012）04-0050-04

2010-05-06；

2011-05-23