单调类定理的一个集合论证明

王小特

（陕西能源职业技术学院，咸阳 712000）

单调类定理的一个集合论证明

王小特

（陕西能源职业技术学院，咸阳 712000）

本文利用集合论中的序数理论和超限归纳法，给出概率测度论中一个集族生成的最小σ代数，最小λ类和最小单调类的具体形式，并给出单调类定理一个直接的证明.

单调类定理；集合论；最小σ代数；最小λ类；最小单调类

1 引言与预备

我们首先介绍概率测度论中的一些概念.

定义1.1［1］设Ω为一个集合，C为Ω的一个子集族.

①Ω∈C； ②A，B∈C，B⊂A得A－B⊂C； ③An∈C，n≥1，An↑A得A∈C.

由C生成的σ代数，λ类和单调类分别用σ（C），λ（C），m（C）表示.显然σ（C）⊃λ（C）⊃m（C）.概率测度论中单调类定理是一个重要的证明工具，集合形式的单调类定理主要研究在什么情况σ（C）＝m（C）或σ（C）＝λ（C）.

定理1.1［1］设C为一个集合.

（i）若C为代数，则m（C）＝σ（C）；

（ii）若C为π类，则λ（C）＝σ（C）.

单调类定理的证明一般采用的是构造性的证明［1］，而不采用直接的证明，直接证明的困难在于不知道集族C是如何生成最小单调类m（C），最小λ类λ（C）和最小σ代数σ（C），利用集合论中的序数理论和超限归纳法，我们可以给出σ（C），λ（C），m（C）的具体构造，从而给出单调类定理一个直接的证明.有关集合论的知识可参见［2］.

2 主要结果

设Ω为一个集合，C为Ω的一个子集族，下面我们利用超限归纳定义的方法构造C生成的最小单调类m（C），最小λ类λ（C）和最小σ代数σ（C）.

设第一个不可数序数为ω0.对任意的序数α＜ω0，假设对任意的序数β＜α，Mβ，Λβ，Σβ已经定义好了，下面我们定义Mα，Λα，Σα.

若α为后继序数，设α＝β＋1，令

若α为极限序数，则令

这样对任意的序数α＜ω0，Mα，Λα，Σα都已经定义好了.

命题2.1m（C）＝M，λ（C）＝Λ，σ（C）＝∑.

然后我们证明M是C生成的最小的单调类.设N为一个单调类且N⊃C，我们证明M⊂N.利用超限归纳法.

对任意的序数α＜ω0，我们证明Mα⊂N.显然，M0⊂N.假设对任意的β＜α，Mβ⊂N.若α为后继序数，设α＝β＋1，由Mα的构造以及N是单调类有，Mα⊂N.若α为极限序数，则Mα＝∪β＜αMβ⊂N.这样对任意的序数α＜ω0，我们证明了Mα⊂N，从而M⊂N，即M是C生成的最小的单调类.

下面给出单调类定理一个直接的证明，我们只证明其中一个结论.

定理2.1设C为代数，则m（C）＝σ（C）.

上述证明不需要多么“高明”的技巧，想法是自然的，证明也很直观，这种方法也可以应用到其他形式的单调类定理的证明中.

［1］严加安.测度论讲义［M］.北京：科学出版社，2004.

［2］张锦文.公理集合论导引［M］.北京：科学出版社，1991

A Direct roof for the Theory of Monetone Class by the Set heory

WangXiao－te
（Shaanxi Energy Institute，Xianyang 712000，China）

In terms of order number and transfinite induction in set theory，the smallestσalgebra，monetone class andλclass which are genereted by one family of subsets are discussed.Further，a direct proof of the theory of monetone class is given.

theory of monetone class；set theory；smallsetσalgebra；smallestλclass；smallest monetone class

O189.1；O153.1

A

1672－1454（2012）04－0095－03

2010－03－12