一道高考试题解法探究的教学片段及思考

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(锦屏高级中学 江苏连云港 222021)

一道高考试题解法探究的教学片段及思考

●殷长征

(锦屏高级中学 江苏连云港 222021)

教学有法，但无定法.教师的课堂教学通常按照教学设计进行，但在实际的课堂教学中有时也会出现一些“节外生枝”的突发事件，特别是那些既“喧宾夺主”又冲淡主题，既无法躲避又合情合理的突发事件.如果处理这些事件，原来的教学计划就会受到影响；不处理吧，于情于理都说不过去.笔者认为，既然问题合情合理，教师就应该适时地改变原来的教学计划，运用好这突如其来的问题，也许会产生意想不到的教学效果.下面结合笔者的一节期末综合复习课中的教学片断，谈谈笔者的一些看法与感受.

1 一道高考题——招来“节外生枝”

(2011年全国新课标数学高考理科试题)

投影仪上的题目一出现，学生在下面就做开了，大约过了5分钟，生1举起手，笔者示意其上黑板板演.

所以

BC=2sinA，AB=2sinC，

从而AB+2BC= 2sinC+4sinA=

2sin(120°-A)+4sinA=

师：生1的解法很完整，他熟练地运用了正弦定理进行边角转换，将三角形中关于边的不等式转化为关于角的不等式，充分利用三角函数的有界性进行处理，学以致用，很好(至此设计这道题的目的已经达到)！

就在笔者准备进行下一题时，意外发生了.

生2站了起来：老师，这道题可改用余弦定理求解，可是做到这一步，我不知道该如何进行下去.

他的发言引起了大家的关注，此时笔者心中充满了矛盾和紧张，一是这突如其来的“节外生枝”——利用余弦定理求解，冲淡了本节课的复习计划；二是利用余弦定理求解事先也没有准备，怕解不出来出丑.若不解答，既不能满足学生强烈的求知欲，也失去了一次渗透这方面知识的机会.无奈笔者终止了原来的教学计划，和学生一起探讨利用余弦定理求解.

2 积极回应——解决“节外生枝”

师：很好！这是一个很好的想法，值得研究的问题，我们一起研究(这样做不仅给学生充分的思考时间，相信学生会有好的想法，更给了笔者思考的时间，走出窘境).

笔者一边思考一边看生2的板演过程，突然顿悟，心中已有底，但不露声色，要让学生自己发现，这时，生3举起了手，并急不可待地走到黑板前，板演如下：

令AB+2BC=c+2a=t(t>0)，则

将式(2)代入式(1)并化简得

7a2-5ta+(t2-3)=0，

要使方程有解，则根的判别式

Δ=(-5t)2-4×7×(t2-3)≥0，

此时，全班同学都为生3的精彩演绎而鼓掌，并投去了赞许的目光.

师：太好了！生3的解法更简捷，解题的关键是将a2+c2-ac=3看成一个一元二次方程，设AB+2BC=c+2a=t(t>0)后代入并运用一元二次方程的知识处理，妙极了！

这一解法和笔者的想法吻合，笔者引导学生反思这个思维过程……未等笔者说完，生4：老师，我还有一种解法，运算没有生3的简单，但也不算麻烦.

笔者不禁一愣，居然还有解法，也有些激动：说说看！

a2+c2-ac=3.

由AB+2BC=c+2a=2c+(2a-c)，令2c=x，2a-c=y，则

代入a2+c2-ac=3并化简得

AB+2BC=c+2a=2c+(2a-c)=x+y=

这时全班又响起了热烈的掌声.

师：生4利用了2次换元，将三角函数问题转化为椭圆方程，再利用三角换元解决问题.还有没有其他的解法呢？

话音刚落，生5站了起来.

生5：老师，生4用的是2次换元，其实一次换元即可：

a2+c2-ac=3.

由AB+2BC=c+2a=2c+(2a-c)，令2c=x，2a-c=y，则

代入a2+c2-ac=3并化简得

就在大家为生5的解法所陶醉时，又有生6：老师，我也解出来了.

由式(3)，式(4)化简得

于是AB+2BC=c+2a=

至此，教室里一片欢呼，这欢呼既是对上述几位学生的鼓励，也是对他们不畏艰难、勇于攀登精神的赞美.

看到这种情景，笔者更是被感动了，就此提出了新的问题：通过上面给出的几种解法，能否得到更一般性的结论？

生7：利用余弦定理得到关于a，c的二次齐次式，在二元二次条件限制下求解最值常用的几种方法.

师：都说数学是“思维体操”，今天这节课大家让自己的思维得到了一次充分的锻炼，我也充当了一回有成就感的“看客”.希望在以后的学习中大家能不断地给我机会，让我多做几次“看客”.

3 借风使舵——利用“节外生枝”

“节外生枝”的问题尽管解决了，但并不能到此为止，而应该借风使舵、乘胜追击，让学生理解和掌握解决“节外生枝”问题的方法和思想.于是给出了2011年浙江省数学高考的2道试题让学生巩固.

题1设x，y为实数，若x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是________.

题2设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是________.

下课铃声响了，虽然因这突如其来的“节外生枝”而没有完成原来的教学计划，但这节课从“节外生枝”到“枝上开花”，还是很满意的.

4 几点思考

(1)叶澜曾经说过：课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定的路线而没有激情的行程.课堂教学是一个动态生成的过程.解题教学也不例外，随时会出现“意外”的风景.学生作为课堂教学的主体，他们的原始思路是多种多样的，是富有生机和创造力的，要加以保护和鼓励.教师不仅需要对常用解法进行固化，更需要对学生的发散思维、创新精神、探索精神进行保护和促进.只有对学生的各种质疑、困惑等时刻关注，才能更好地为学生的能力发展提供一个展示的平台.因此学生在课堂教学中动态生成的资源更值得重视.

(2)美国心理学家布鲁纳说过：探索是数学的生命线.课堂上应提倡师生平等，教学相长，创造民主气氛，才能使学生释放出巨大的创新潜能.教师应转变观念，作为课堂的设计者、点拨者、尝试者和点评者，应积极鼓励学生大胆猜想，发表自己的见解，构建师生互动、勇于探究、敢于质疑的合作交流的教学平台，让学生真正体验数学研究的过程，培养学生的创新能力，使问题的解决方法和结论更具一般性.事实告诉我们，给学生再思考的时间，就是让学生由考试时的限时思考变为不限时思考，让他们尽情地去自主探索、合作交流.

(3)这节课对教师在处理习题课问题上也是一次深刻的教育.对于一些简单的习题(考题)，教师在思想上容易轻视，认为按照自己的预设思路讲课学生能弄懂，没有认真思考问题后面潜藏的其他问题和教育价值.没有想到课堂上可能出现的“节外生枝”.因此，要改善这种情况，教师对于要讲解的问题事先需进行认真的研究，研究问题的解法、变式、改编，研究学生解决问题时可能出现的难点和疑点等.只有经过充分地研究，教师在课堂上才能做到游刃有余，才能机智地为学生打破预设，并用睿智的追问，拓展学生思维，延伸思维空间，定会让解题教学中的“节外生枝”绽放出异彩.

(4)一节课的好还是不好，不是看题目讲解的多还是少，关键是我们是否能让学生把所提出问题弄懂，学生的能力是否得到提高，学习的兴趣是否得到提升.快节奏、大容量的课堂往往使学生对一些知识似是而非，似懂非懂，知识体系杂乱无章.本节课的一道题目虽然花了近一节课的时间，但是学生通过不同的方法对在二元二次条件的限制下求最值有了新的认识，学生的知识目标得到了落实，思维也得到了训练.题目不在多，学生能积极主动、有效参与就行.

最后，让我们记住:学好数学，需要一种精神，那就是团结合作的精神；学好数学，需要一种意志，那就是挑战自我的意志；学好数学，需要一种意识，那就是强烈的问题意识.

[1] 殷长征.巧而不错是关键[J].中学数学，2011(11)：23-24.

[2] 章薇薇，浦叙德.简谈数学解题教学中的追问艺术[J].中学教研(数学)，2011(12)：11-14.