形似高考实不同 历经风雨显彩虹——高考数学模拟试题命制之我见

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(青田县教师进修学校 浙江青田 323900)

形似高考实不同历经风雨显彩虹
——高考数学模拟试题命制之我见

●蒋海瓯

(青田县教师进修学校 浙江青田 323900)

高考是知识和能力的双重较量，更是意志和品质的两重竞争.高考模拟考试是高考前的一种模拟演练，更是一种仿真的实战演习.毋庸置疑，高考模拟试题必须和高考试题保持高度的一致，包括试卷结构、题型布局、考核目标、考查要求、命题思想、命题原则、内容分布、难度控制等都必须一脉相承，严格按考试大纲来命制，遵循高考命题的所有规则.如高考数学模拟试题必须按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，同时兼顾文理考生的素质差异，试题应具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度等.尽管如此，高考模拟考试与高考毕竟是2种不同性质的考试，两者之间有着不同的测试功能，相对于高考而言，模拟试题的命制有其自身独有的视角与定位，有着自身独特的切入点与着力点.

1 高考模拟试卷命制的视角与定位

不同类型的考试有着不同的测试功能.高考是选拔性考试，是一种终结性考试，其优胜劣汰的结局泾渭分明，短时间内无法补救更无法重来，正所谓“一卷定终生”、“此去不复返”，高考试卷极具“选拔功能和教育导向功能”.高考模拟考试是正式高考的热身赛与前哨战，通过模拟考试“旨在诊断前一阶段全面复习的教学效果，及时检测学生对基础知识、基本技能和基本思想方法的掌控程度，及时反馈学生运用所学知识与方法解决问题的能力水平，从而为调整下一步复习进程与提高复习效应，收集翔实可靠的现实信息，提供真实有效的决策依据，进而为决胜最后的高考大战铺平道路”.因而高考模拟试卷侧重于“诊断、检测及反馈”、“能力水平测试”与“阶段形成性考核”功能，它是一种阶段性考试，成则更好而败也无妨.依笔者之见，为了让高考模拟考试“诊断、检测、反馈与水平测试”的功能发挥极致直至产生最大的效应，应当秉持“将暴露进行到底，把考验演绎彻底”的思想理念.高考模拟试题除了严格按高考考试大纲命制以外，设计可更具“诱惑性、迷惑性乃至疑惑性”，策划更富“警示性、启发性乃至挑战性”，考问更有“思想性、思辨性乃至交汇性”，以便使学生的各种“思维误区、思想障碍、解法错误、知识缺陷”都能“充分暴露在模拟考试之中，完全消除在正式高考之前”，使学生的“数学基础知识、数学思想方法、数学基本能力”都能得到“更有效的强化性演练、更科学的针对性提高”，从而“实现高考模拟考试模拟价值的最大化”，进而“全面夺取高考的终极胜利”.

2 高考数学模拟试题命制之我见

2.1 试题设计“巧设疑惑，善作隐藏”，考题未必“那么难”，但思考求解“有纠缠”，力求“查漏补缺匠心独运，强基固本别出心裁”

模拟考试的宗旨是“为了高考，服务高考，剑指高考”.为了诊断学生的思维缺失，暴露学生的思维误区，检测学生的解题缺陷，模拟试题要巧妙地设置一些“诱惑性、迷惑性、疑惑性”的条件或结论，让学生思考求解时产生一定的干扰性与纠缠性.学生若对此“诱而不惑”，那是教师的渴望；若“诱而致憾”，教师便找到了教学的缺憾，只要据此强化下一步的训练使其“不重犯”，就有可能实现高考时的“不遗憾”.要善于将有关知识内容有意识地加以“替换、变换乃至隐含、隐藏”，由此可以较好地测试学生的观察分析、阅读理解、化归转化等数学基本能力，从而发挥模拟试题查漏补缺、强基固本的最大功效.

例1把形状大小完全相同分别标有1，2，3的3个小球随机地放在编号分别是1，2，3，4的4个盒子中，则1号盒子内有球的不同放法有

( )

A．10种 B．24种 C．37种 D．48种

试题简解

方法1(正面直接求解) 按第1号盒内“放1个小球、2个小球、3个小球”求解，有

故选C.

方法2(正难则反，反面排除求解) 3个球任意放置有43种放法，而其中第1号盒子无球的有33种，故有43-33=37种.

评注本题若设计成“填空题”，则会出现更多不同的答案，得分率会更低.由此引导学生解排列组合问题一般采用“整体分类，局部分步，不重不漏，多方求解，殊途同归”，最后找到正确答案.

图1

例2函数y=f(x)的图像是圆心在原点的单位圆的2段圆弧(如图1所示)，则不等式f(x)

设计意图数学语言是数学思维的载体，数学学习实质上是数学思维活动.数学语言又可归结为文字语言、符号语言、图表语言3类.本题将函数的表达式(符号语言)用图形(图形语言)来表示(实际上将

隐含在图形之中)，而将函数的奇偶性悄悄地蕴含与隐藏在图形的对称性之中，可以很好地诊断与检测学生的看图、识图、用图能力，信息处理能力，数形结合能力和不等式与方程之间的相互转化、化归能力以及思维的灵活性与变通性.事实上,本题的简明设计是在考查直线与圆的位置关系，可以避开函数的解析式而利用“平面几何中圆的性质”快速得出问题的答案；若用解“由圆弧方程与直线方程组成的方程组”的方法来求解，反而不简便也不方便，问题的处理测试与考验着学生的基本数学素养.

试题简解由y=f(x)的图像关于原点对称，知y=f(x)是奇函数.由f(x)

f(x)<-f(x)+x，

即

评注本题若设计成“选择题”，用“特值排除法”很容易剔除掉不正确的答案，使试题达不到应有的检测效果.

2.2 试题设计“看似平常，实则新奇”，考题未必“那么深”，但思维测试“显本真”，力求“思想方法融里边，知识技能两相兼”

高考命题“以知识为基础，以问题为载体，以思维为主线，以能力为准绳”，坚持能力立意不动摇，注重对数学思想方法的考查，注重对以思维能力为核心的各种数学能力的考查.事实上，数学思想方法是数学知识在更高层次的概括与提炼，是将知识转化为能力的桥梁和纽带.数学思想与方法常常“于平凡之处显神力，于细微之处见真功”，有着“以不变应万变”的奇妙效应，在许多问题的求解中发挥着独有的作用，焕发出独特的魅力.高考模拟考试对此必须做到足够的重视与全面的演练，要善于设置一些问题——将“基础的知识、熟悉的载体、常见的背景、基本的方法”巧妙地融合在一起，看似平常、貌似平淡但运用特定数学思想方法方能破解或用数学思想方法能够简化求解.从而进一步引领学生“不仅要学会用数学知识解决数学的问题，更要善于运用数学的思想与方法破解数学的问题”，着力彰显数学思想与方法在应对各种问题时的技术功力与非凡功能，凸现其“四两拨千斤，不变应万变”的神奇效力.

(2)发现对于等差数列{an}中的任意3项am,an,ak(m,n,k互不相同)，有下列等式

(n-k)am+(k-m)an+(m-n)ak=0

成立.记等差数列{an}的前m,n,k项的和依次为Sm,Sn,Sk，则类似地，在等差数列{an}中，对于Sm,Sn,Sk有等式________成立.

设计意图近几年的数学高考频频出现简单的合情推理试题，如2010年浙江省数学高考理科试题第14题：

试题简解(1)由

得

(2)由等差数列的求和公式，得

例4已知圆的极坐标方程为

(1)求这个圆的普通方程和一个参数方程；

(2)设P(x,y)为上述圆上的任意一点，求xy的最值．

设计意图试题表面非常平实，题面干练简洁，考查圆的普通方程(直角坐标方程)、极坐标方程、参数方程及其3种方程之间的互化等基础知识．但平实之中有惊险，通过“求xy的最值”这一问题的设计，提升了检测功能，能综合考查学生思维的灵活性，考验学生能否选用“圆的参数方程”来简化问题的求解过程以及是否掌握用“代数换元法”来求解“含有sinθ+cosθ与sinθcosθ的三角函数最值”等基本技能．

试题简解(1)原方程可化为

即

此即为所求的一个参数方程.

(2)由第(1)小题知

从而

2.3 试题设计“知识交汇，方法交融”，考题未必“那么繁”，但考查内涵“更周全”，力求“会一题便能通一片，牵一发就可动全身”

注重学科的内在联系和知识的综合性，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度，这是高考数学向来的命题方向.高考模拟考试要坚持不出偏题、难题与怪题，考题要注重利用学生熟悉的与常见的问题为背景.通过条件的巧妙设计、问题的精心设置，着力于数学学科知识间的交汇与方法间的交融，努力拓展问题考查的知识点与辐射面，力求对有关支撑学科知识体系的重点内容与主干知识的考查达到“横向到边，纵向到底，不留死角，一网打尽”之境地，力图步入“会一题便能通一片，牵一发就可动全身”之境界，从而发挥模拟考题功能的最大效应.

例5已知向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C,且A,B,C分别为△ABC的边a,b,c所对的角.

(1)求∠C的大小；

试题简解(1)由题意得

m·n= sinA·cosB+sinB·cosA=

sin(A+B)=sinC，

因为

m·n=sin2C，

所以

sin2C=sinC.

(2)由已知2sinC=sinA+sinB，又由正弦定理，得

2c=a+b.

abcosC=18,ab=36,

从而

由余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=

4c2-3ab，

从而

c=6．

图2

(1)求椭圆的方程；

设计意图解析几何的综合问题在高考中每年都有一道大题，主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及解析几何的基本思想.由于对双曲线的考查要求降低，一般以直线与椭圆、抛物线的位置关系为考查重点.而平面向量知识的加盟，又给此类问题的设计与布局展现了新的风姿，平添了新的视角，增添了新的考查内涵.问题的求解常常要用到“数形结合、化归转化、分类讨论、设而不求、减元消元”等重要的数学思想与方法，综合测试学生分析问题、解决问题的能力.事实上，求解直线与圆锥曲线的位置关系这类问题，一般会用到以下基本思想和方法：

(3)易知F1(-1,0),F2(1,0).

②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x+1).由

得

(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0.

因为Δ=8k2+8>0,所以方程有2个不等的实数根．设A(x1,y1)，B(x2,y2),则

(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=

(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2=

模拟试题形似高考试题，却又不同于高考试题.高考模拟试题的命制，要力求“查漏补缺匠心独运，强基固本别出心裁；思想方法融里边，知识技能两相兼；会一题便能通一片，牵一发就可动全身”，力图经历模拟试题的磨砺与洗礼，最终赢得高考大战的成功与喜悦！