简析线性规划在高考中的几个热点

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(宁波市第二中学 浙江宁波 315010)

简析线性规划在高考中的几个热点

●范露霞

(宁波市第二中学 浙江宁波 315010)

线性规划在高考试题中虽然分值不多,却是必考的知识点之一，考查内容多为求平面区域(面积)、最优解、最值等.通常可通过二元一次不等式组来确定可行区域，移动目标函数的等值线，用数形结合的思想和最优化的数学思想解题，题型多为较容易的选择题或填空题.纵观近几年的数学高考，线性规划在命题中不仅注重对基础知识的考查，更多地出现了对含参问题和综合应用能力的考查.考查的难度、深度和广度在不断地加大,更好地体现了新课标所倡导的“注重学生数学思想的培养，提高数学素养”的精神.笔者认真研究近几年数学高考试题中的线性规划问题，发现考查热点体现在以下几个方面,希望能对高三的复习有所帮助.

1 夯实基础，简单应用

例1若实数x,y满足不等式组

则2x+3y的最小值是________.

(2009年浙江省数学高考理科试题)

图1 图2

zmin=2×2+3×0=4.

点评例1中约束条件和目标函数中x,y的系数都是定值，只要先作出满足约束条件的可行域，再作出目标函数的等值线并移动到最优解的位置.此类题是线性规划考查中的基础题型，要求熟练地掌握线性规划的基本概念和解题步骤，简单应用即可获解.

2 结合几何，合理应用

例2已知实数x,y满足

解由题设条件画出可行域,如图2所示.取

故

u=3+2k∈[4,7].

点评此类题需要充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等，最能体现数形结合的思想，是考查的重要题型.

3 渗透参数，灵活应用

例3若实数x,y满足不等式组

且x+y的最大值为9,则实数m=

( )

A.-2 B.-1 C.1 D.

(2010年浙江省数学高考理科试题)

点评此类题的约束条件或目标函数中出现了参数，从而使单一、静态的线性规划问题成为较全面的、动态的问题，增加了考查难度.此类题是今后高考命题的一个热点,要求学生能从动态中找出不变的量，有较灵活地应用能力.

图3 图4

4 交汇知识，综合应用

解由题设条件画出可行域,如图4所示易求得

由图4得

从而

点评此类题将线性规划与基本不等式、平面向量、解析几何、函数等其他章节的知识进行交汇，形成多知识点的综合问题,以线性规划问题作为载体来考查学生的综合应用能力，解题的关键在于灵活运用相关知识.

5 体现思想，创新应用

(2011年浙江省宁波市数学高考一模试题)

图5 图6

点评此类题背景新颖，解法多样，可通过适当地变形，把题设条件和要求转化为约束条件和目标函数，用线性规划的思想巧妙获解，体现了数形结合的思想，需要学生具有综合运用数学知识解题的能力和创新能力.

[1] 蔡圣兵.例析线性规划的四种考查形式[J].中学数学：高中版,2010(8):51-53.