“找规律”课例简析

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(浙江师范大学教师教育学院 浙江金华 321004)

“找规律”课例简析

●朱哲

(浙江师范大学教师教育学院 浙江金华 321004)

2011年11月26日至28日，国家社科基金教育学重点课题“基础教育未来发展新特征研究”课题组在成都锦江区召开专题研讨会.会议围绕“当代学习科学的新进展及其对课堂教学创新的启示、个性化教与学方式的变革、课堂教学进程结构设计、信息技术与学科课堂教学的整合”4个主题展开交流与研讨.28日上午，会议安排参会人员到成都市田家炳中学、成都七中育才学校、成都师范附属小学等中小学校听课、观摩.

笔者在成都七中育才学校听了4节课，其中一节是数学课，教师A上课的内容是“找规律——专题课”，上课对象为8年级学生.本文从内容结构、猜想后的验证、历史文化的渗透这3个角度对该节课进行简要的分析，同时也引发了笔者对构建“适合学生的数学教学”的思考.

1 内容和结构

本节课结构脉络非常清晰，教学流畅有序，主要由5个活动组成：

活动1:情境引入；

活动2:由数字变化找规律；

活动3:由图形变化找规律；

活动4:由变化周期找规律；

活动5:回顾反思.

其中，活动2～4由若干例题和练习组成，并对解决此类问题的方法进行了归纳和小结.在活动2中，教师给出一组例题，由4个小题组成，如：

下列各题给出的是有规律的一列数，请观察这组数的规律，并回答：1，3，5，7，____，…，第n个数为____.

针对这些例题探索寻找规律的方法，最后，又给出2道练习，如：

1，4，7，10，13，____，…，第n个数为____.

在活动3中，教师先出示问题1：

图1

问题1用同样大小的黑色棋子按如图1所示的方式摆放图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要棋子____枚(用n的代数式表示).

活动2是研究“数”的问题，活动3研究的是“点”的问题.此外，活动3的问题与活动2中的例题和练习是没有联系的.若将图形调整为如图2所示，则由活动1到活动2的过渡就显得自然流畅了.

图2

这里，同一问题的不同表述(数字表征和图形表征)使教学中的2个活动自然地衔接起来.同时也让学生明白，解决图形问题的方法是先确定基本图形，然后再寻找数字规律.如此一来，就可以将活动3化归为活动2了.之后，教师又出示问题2：

问题2图3是用相同长度的小棒摆成的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形需要小棒____根.

图3

问题2可以看成是“线”的问题，而其后的练习题，则是“面”或“形”的问题,如：

练习题如图4，将(1)所示的正六边形进行分割得到(2)，再将(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到(3)，再将(3)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，……，则第n个图形中，共____有个正六边形.

图4

在这一题中，教师再次引导学生体会分层次观察图形，即由外一层到里一层逐层地观察图形的局部特征、找图形之间联系的方法.

在活动4中，教师出示问题3：

问题3观察下列图形的排列规律(其中是△三角形，□是正方形，○是圆)，□○△□□○△□□○△□□○△□□○△□…，若第1个图形是正方形，则第2 011个图形是____(填图形名称).

随后，教师引导学生思考这些图形具有哪些规律.同样是关于图形的问题，活动3中的练习题是关于图形的“组合”，而活动4则是关于图形的“排列”.

由此，可以勾勒出本节课的线索：内容是找规律，由找数字规律、找图形规律、找周期规律3个活动组成.这3个活动中所安排的例题和练习，又以“数—点—线—面(图形的组合—图形的排列)”这一线索安排.教师在设计时也许未必意识到这条线索，若认识到，并有意地将其自然地贯穿起来，则教学会更加流畅和顺利.适合学生的数学教学应该是线索明晰、结构流畅的教学，让学生的思维在教师的引导下自然而主动地流淌.

2 猜想之后的验证

先来看一教学片断，要思考的是，是什么原因导致了学生的错误？

教师在PPT上出示活动3的练习题，学生手上的工作单上也有该题，教师让学生先自己思考，尝试解答.教师在教室里巡视学生解答的情况，然后开始一段师生对话：

师：大家都做好了，我们首先请这位学生来说一下.

生1：我觉得是这样的，因为第1个图形里面只有一个大正六边形，而第2个图形是在第1个正六边形的基础上，里面又分割了3个正六边形，也就是说，第2个图形里有4个正六边形；第3个图形，则是在第2个图形的基础上，其中一个正六边形中又分割3个正六边形，即在第2个图形的基础上又增加3个，所以我觉得第n个图形应该有2n+1个正六边形.

师：2n+1个，有不同意见吗？

生2：我觉得应该有3n-2个正六边形.首先第1个图形是一个正六边形，第2个可以看成1+3:就是外面1个大的，中间3个小的;然后第3个图形，可以看成是1+2×3:第1个3是3个大的，然后第2个3是指第2次分割后里面的3个.由此可以推断出，第n个图形应该是由1+3×(n-1)个正六边形，化简后就是3n-2.

师：好的，请坐.大家同意第1位同学还是第2位同学？

生：第2位.

师：哪位同学说说，第1位同学错在哪儿？

生3：第1位同学没有考虑到正六边形的大小，只考虑到最大的和最小的，没考虑到重复.

师：刚才错误的这个同学，你来说说.

生1：规律找对了，数字找错了.

那么，究竟是什么原因导致学生的错误呢？主要有以下3个原因：一是观察不够仔细；二是计算错误；三是没有经过检验就确定答案.尤其是第3个原因，如果学生检验一下就可以发现答案不对，然后可以自己纠正，纠其原因，还是在于教师对检验不够重视.

为什么说教师对检验这一环节不够重视呢？考察教师A的教案，在教学目标、教学过程和最后的小结里发现问题.

首先来看教学目标.教师A将本节课的教学目标定为3条：

(1)掌握由数字变化、图形变化和变化周期找规律的方法.理解序列变化规律的“数与序号对应”方法，会用符号进行一般化的表示，发展符号感.

(2)经历具体问题中对数量关系和图形排列顺序的观察、分析、归纳、概括、猜想的过程，初步体会数学类比、转化思想，培养探索发现和创新能力.

(3)在大胆尝试中获得成功的体验，形成积极参与学习、勇于面对挑战的学习态度，同时感受数学思想方法的重要性.

在教学活动中，教师重视让学生经历观察、分析、猜想等过程，体验寻找规律、发现规律、自主学习、合作交流，形成丰富的体验，感受数学思想方法，符合新课程所倡导的理念.但是，猜想之后必须进行验证，观察、分析、归纳、概括、猜想和验证，这是一个完整的过程.教师鼓励学生大胆尝试猜想，但猜想不是瞎猜，大胆尝试之后应小心验证，这也体现了数学的严谨.教案中的“教学目标”虽细致，却没有涉及验证的环节及其验证的重要性，这是本节课最大的不足.

再来看教学过程.在活动2～4中，教师总结解决此类问题的方法，先由学生说，再由教师给出.

在活动2中，教师给出由数字变化找规律的方法：一是看相邻数字的关系——找共同特征；二是看数字变化与序号的关系——写出第n个式子；三看结论的正确性——验证第n个式子是否正确.第3个步骤提到了验证，但在活动3和活动4的小结中没出现.

在活动3中，教师给出由图形变化找规律的方法：找图形之间的联系——转化为数字联系；找每个图形个数——转化为数字规律.在活动4中，教师给出由变化周期找规律的方法：一看图形或数字排列特征——找周期；二看商和余数——找对应的图形或数字. 教师A认为，活动2和活动3可以归结为活动1的数字问题，故没提及验证.但事实上，这是学生最容易忽视的，因此依然需要反复强调.

再来看最后的活动5回顾反思环节.教师计划从以下3个方面进行小结：

(1)本节课我们一起探究了哪些找规律的问题？

(2)关于找规律你学会了哪些方法？

(3)关于找图形变化的规律，可以先找数字的变化规律，由此你体会到什么数学思想方法？

教师对解决问题的方法以及活动背后所隐含的数学思想方法很重视，这一点值得肯定，但对猜想之后的验证没有重视.

总体而言，教师对验证这一环节不够重视，从而导致学生的忽视和错误.适合学生的数学教学应该关注学生的实际，关注学生的思维，关注学生的错误，并思考如何从学生出发，构建高效的教学.

3 历史和文化的渗透

本节课思路清晰，节奏流畅，但在内容的设计上，总体上还是中规中矩，没有太大的亮点.如果能从数学史、数学文化方面吸收一些素材，应用到教学中，与教学内容有机地融合起来，则可以使本节课锦上添花.

就本节课的主题而言，可以安排形数、杨辉三角、斐波那契数列、雪花曲线等内容.

(1)形数.

教师可以先出示前4个三角形数、正方形数和五边形数(如图5)，然后让学生分别写出第5个，第6个，…，第n个数.

接着，不画图，继续寻找其他形数的规律，到后面规律比较难写，但可以引导学生完成下表：

三角形数：1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 …

正方形数：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 …

五边形数：1 512 22 35 51 70 92 117 145 …

六边形数：1 615 28 45 66 91 120 153 190 …

七边形数：1 718 34 55 81 112 148 189 235 …

……

图5

再进一步，可以从平面形数过渡到立体形数，让学生观察图6，写出前几个三棱锥数和四棱锥数.

图6

(2)杨辉三角.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 ( ) 4 1

1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1

……

图7

观察图7，寻找构图的方法，在空白处填上相应的数字.

(3)斐波那契数列.

意大利数学家斐波那契在1228年出版的《算经》修订版中给出一个有趣的“兔子问题”：假设大兔子每月生1对小兔，而小兔2个月长成大兔，那么，自1对兔子开始，一年后可繁殖多少对兔子？

这个问题引出著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，你能发现这串数字的规律吗？写出其后几项.如图8，将杨辉三角上的数字按斜线相加，可以发现它与斐波那契数列居然有神奇的联系.

图8

(4)雪花曲线.

将边长为1的正三角形的每条边3等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其2条腰替代底边，得到第2个图形；再将第2个图形的每条边3等分，并重复上述的作法，得到第3个图形.可以继续按同样的方法画出一系列图形，这些图形很像美丽的雪花，因此被称为“雪花曲线”，如图9所示.求出第2个、第3个、第4个雪花曲线的周长.

图9

这些问题需要教师在教学设计时取舍或做些处理，然后在实际教学中，引导学生思考、探索.总体上而言，这样来安排教学内容，让学生寻找规律，学会找规律的方法，体验数学的思想方法，同时体验数学的神奇和美妙.适合学生的数学教学，应考虑哪些内容是学生感兴趣的，考虑如何通过学生感兴趣的材料来激发学生的思维，促进学生的思维.

浙江省教育厅人文社科类项目Y201122231.)