百密不疏防漏解

☉江苏泰州市高港中学 张 东

同学们在学习了圆的知识后，在解与圆有关的问题时，常常由于没有仔细审题造成漏解.为此特将与圆有关的问题作如下小结.

一、关键点的位置认识模糊造成漏解

例1 如图1，半径为2的⊙O中，已知弦求弦AB所对圆周角的度数.

作OD⊥AB于D，由垂径定理得

所以∠OAB=30°.同理∠OBD=30°.

因为∠AOB=120°.

因为弦AB所对圆周角等于是∠AOB的一半，

所以弦AB所对圆周角为60°.

分析：由于圆周角的顶点位置可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上（如图2），所以弦AB所对的圆周角有两种可能.

因为∠APB+∠AP1B=180°，

所以∠AP1B=120°.

所以AB所对圆周角的度数为60°或120

例 2 如图3，半径为2的⊙O中，弦上一点，且PA=PB，求S△ABP.

错解：作PD⊥AB.

因为PA=PB，所以D为AB中点.

由垂径定理得PD必过圆心O.

由例1知OD=1，则PD=3.

分析：由于点P可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上（如图4），故△ABP也有两种情形.

正解：（1）若P在优弧AB上.

（2）若P在劣弧AB上，则PD=OP-OD=1.

二、平行弦的位置模糊造成漏解

例 3 如图5，已知⊙O中，半径R=5，AB、CD是⊙O内的两条平行弦，且AB=6，CD=8.求S梯形ABCD.

错解：过O作直线MN⊥AB，交AB于M，交CD于N.

因为AB∥CD，

所以MN⊥CD.

连接OA、OC.

分析：弦AB∥CD，但AB、CD不一定位于圆心的异侧，也可能位于圆心的同侧.所以，本题除了上面的情形，还有下面的情形（如图 6）.

正解：如图6，过O点作OM⊥AB交CD于N.

则ON⊥CD.

同上解得OM=4，ON=3.

所以MN=1.

则本题正确的解答为S梯形ABCD=49或7.

三、两圆位置关系模糊造成漏解

例4 如图7，已知⊙O1与⊙O2相交于AB，AB=24，⊙O1、⊙O2的半径分别为R1、R2，R1=20，R2=15，求两圆圆心距O1O2的长.

错解：设O1O2相交于C.

所以O1O2=O1C+O2C=16+9=25.

分析：两圆相交，⊙O2的圆心可能在⊙O1外，也可能在⊙O2内.

正解：另一种情况，如图8.当O2的圆心在⊙O1外时，O1O2=25.

当O2的圆心在⊙O2内时，设直线O1O2交AB于C.

所以两圆圆心距O1O2是25或7.