函数最值问题探微

☉江苏兴化市板桥初级中学 张仁荣

函数最值问题，是函数中的热点问题，如求利润的最大值，费用的最小值等问题中常会出现.解决此类问题要构建合理的函数模型，将实际问题数学化并运用函数知识解决问题.

一、构建一次函数模型解决实际问题中的最值问题

一次函数的单调性受比例系数k影响，当k＞0时，y随着x的增大而增大；当k＜0时，y随着x的增大而减小.所以一次函数在定义域内并无最大值或最小值，但在实际问题中一次函数的自变量的取值有一定的范围，所以可以根据此范围结合函数的单调性来求解最值问题.

例1 某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：

类别 冰箱 彩电进价（元/台） 2320 1900售价（元/台） 2420 1980

（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？

分析：由题可知商场的利润等于销售冰箱的利润和销售彩电的利润之和，所以根据“单件利润×数量=总利润”找出总利润y与x间的函数关系式.最后根据一次函数的单调性，求出函数的最值，从而解决问题.

解：（1）（2420+1980）×13%=572.

（2）①设冰箱采购x台，则彩电采购（40-x）台，根据题意得：

因为x为整数，所以x=19、20、21.

方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台.

方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台.

方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台.

设商场获得总利润为y元，则：

因为20＞0，所以y随x的增大而增大.

所以当x=21时，y最大=20×21+3200=3620.

点评：构建一次函数模型解决实际问题中的最值问题，关键要注意两点：一要根据一次函数的单调性，二要求出一次函数的自变量的取值范围.根据函数的单调性求出函数的最大值或最小值，从而解决实际问题.

二、构建二次函数模型解决生活中利润最大值问题

例2 今年我国多个省市遭受严重干旱.受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x所满足的函数关系式，并求出5月份y与x所满足的二次函数关系式.

分析：由题意可知，4月份销售利润=销售总价-成本，满足一次函数关系，可以根据一次函数的性质求出最大值；5月份的销售利润与x满足二次函数关系，可以借助二次函数的顶点坐标求出函数的最大值，解决利润最大值问题.

解：（1）4月份y与x满足的函数关系式为y=0.2x+1.8.

所以五月份y与x满足的函数关系式为y=-0.05x2-0.25x+3.1.

（2）设4月份第x周销售此种蔬菜1千克的利润为W1元，5月份第x周销售此种蔬菜1千克的利润为W2元.

因为-0.05＜0，所以W1随x的增大而减小.

所以当x=1时，W1最大=-0.05+0.6=0.55.

所以x＞-0.5时，y随x的增大而减小.

所以当x=1时，W2最大=1.

所以4月份销售此种蔬菜1千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元；5月份销售此种蔬菜1千克的利润在第1周最大，最大利润为1元.

点评：在实际问题中，如果两变量满足二次函数关系时，可构建二次函数模型并通过对二次函数的最值的求解，解决实际中的最值问题.

函数的最值问题在实际运用中比较广泛，也是学习中的重点内容，解题的关键要从实际生活中抽象出数学模型，将实际问题数学化通过对数学知识的求解，来解决实际问题.