直线与圆专题强化

陈勇军

直线与圆是高考的热点，也是高考的难点，对这块内容复习切不可只是下苦功夫，要多动脑筋、勤施小计，才能使问题得以迎刃而解。本文就直线与圆的问题举数例说明。

【例1】如图1，一根棒AB长为2米，斜靠在墙壁AC上，∠ABC=60°，如果棒的两端A,B分别沿AC、CB方向滑动到A′B′，且AA′=(3－2)米，问棒的中点D运动的路程是米.

分析目标需要求棒的中点D运动的路程，就必须知道点D的运动变化轨迹；在棒运动过程中，点A、B、D的位置发生变化，哪些量没有发生改变呢？——线段AB的长度及∠C=π2是定值，进一步可知，△ABC始终是直角三角形，同时DC=12AB=1，从而点D的运动变化轨迹是单位圆的一部分。

解如图2，点D,D′分别是线段AB,A′B′的中点，点D的运动轨迹是单位圆的一部分弧DD′，∠DCB=∠DBC=π3，因为AA′=(3－2)，所以A′C=AC－AA′=3－(3－2)=2，又A′B′=2，从而△A′CB′是等腰直角三角形，所以∠D′CB′=π4，进而∠DCD′=π3－π4=π12，所以弧DD′的长度为π12×1=π12米.

点拨探求动点轨迹问题时，需要理清“动”与“定”，从“动”“定”中需求解题方法。

总结：（1） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这一结论是处理圆轨迹问题的常用方法。

（2） 圆弧l=Rθ（R为半径，θ为圆弧所对的圆心角）。

【例2】点P(1,0)在直线l:ax+by+c=0上的射影为点M，其中a,b,c是满足2b=c－a的任意三个实数，定点N(－3,2)，则|MN|的取值范围是.

分析（1） 直线l有没有什么性质呢？其中系数满足2b=c－a。消去b，直线l可化为ax－12y+c12y+1=0，令x－12y=0,12y+1=0，得x=－1,y=－2，从而直线l过定点Q(－1,－2)。

（2） 射影点M在哪里？始终保持∠PMQ=π2，且PQ=22，从而点M在以线段PQ为直径的圆上，问题转化为圆外一点到圆上动点M的距离的最值问题。

解如图3，根据分析可得|NA－AM|≤|MN|≤|NA+AM|，从而22≤|MN|≤42，即|MN|的取值范围是［22,42］.

点拨注意隐含条件直线过定点。

总结：（1） 直线m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m,n∈R,A1B2≠A2B1)过定点，定点为方程A1x+B1y+C1=0,

A2x+B2y+C2=0的解。

（2） 直径所对圆周角为直角。

【例3】过圆C:(x－6)2+(y－4)2=8上一点A(4，6)作圆的一条动弦AB，点P为弦AB的中点.

（1） 求点P的轨迹方程；

（2） 设点P关于点D(9，0)的对称点为E，O为坐标原点，将线段OP绕原点O依逆时针方向旋转90°后，所得线段为OF，求|EF|的取值范围.

分析易知，第一问P的轨迹方程是(x－5)2+(y－5)2=2(x≠4且y≠6)，第二问关键是点E、F的变化是根据点P的变化而变化，从而设点P(x,y)，接下来的任务是求点E、F的坐标。

解（1） 连接PC，由垂径分弦定理知，PC⊥AB，所以点P的轨迹是以线段AC为直径的圆(除去点A).

因为点A(4，6)，C(6，4)，则其中点坐标为(5，5)，又圆半径r=|AC|2=2.

故点P的轨迹方程是(x－5)2+(y－5)2=2(x≠4且y≠6).

（2） 如图4，因为点P、E关于点D(9，0)对称，设点P(x,y)，则点E(18－x,－y).

设点F(x1,y1)，因为线段OF由OP绕原点逆时针旋转90°得到，

则OF⊥OP，且|OF|＝|OP|，即

yx•y1x1=－1，且x2+y2=x21+y21.

由yx•y1x1=－1，得yx=－x1y1.令y=－tx1,x=ty1(t>0)，

则t2(x21+y21)=x21+y21(t>0)，所以t＝1.

因此点F的坐标为(－y,x).

所以|EF|=(18－x+y)2+(－y－x)2=2•(x－9)2+(y+9)2.

设点M(9，－9)，则|EF|=2|PM|.

因为点P为圆(x－5)2+(y－5)2=2上的点，设圆心为N(5，5)，则

|PM|min=|MN|－2

=(9－5)2+(－9－5)2－2

=253－2，

|PM|max=|MN|+2=253+2.

故|EF|的取值范围是［2106－2,2106+2］.

点拨向量性质：（1） 若向a=(x,y)，则与它共线且长度相等的向量b=(x,y)或b=(－x,－y)；（2） 若向a=(x,y)，则与它垂直且长度相等的向量b=(－y,x)或b=(y,－x)，从而点F的坐标可以根据向量性质直接得到OF=(－y,x)，即F(－y,x)。

总结：（1） 点A(x,y)关于点M(m,n)对称点为A′(2m－x,2n－y)。

（2） 点A(x,y)关于直线x=m对称点为A′(2m－x,y)；点A(x,y)关于直线y=n对称点为A′(x,2n－y)。

(3) 点A(x,y)关于直线y=x+b对称点为A′(y－b,x+b)；点A(x,y)关于直线y=－x+b对称点为A′(b－y,b－x)。

(4) 点A(x,y)绕原点O依逆时针方向旋转90°后所得A′(－y,x)；点A(x,y)绕原点O依顺时针方向旋转90°后所得A′(y,－x)。

【例4】如图5，已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点．边长为2的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．

（1） 求轨迹E的方程；

（2） 过轨迹E上一定点P(x0,y0)作相互垂直的两条直线l1,l2，并且使它们分别与圆O、轨迹E相交，设l1被圆O截得的弦长为a，设l2被轨迹E截得的弦长为b，求a+b的最大值．

分析条件l1⊥l2如何应用成为解题的关键！

解（1） 连接OB，OA，因为OA=OB=1，AB=2，所以OA2+OB2=AB2，

所以∠OBA=π4，所以∠OBC=3π4，

在△OBC中，OC2=OB2+BC2－2OB•BC=5，

所以轨迹E是以O为圆心，5为半径的圆，

即轨迹E的方程为x2+y2=5.

（2） 设点O到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，

因为l1⊥l2，

所以d21+d22=OP2=x20+y20=5，

则a+b=21-d21+25-d22，则

(a+b)2=4［6-(d12+d22)+2(1-d21)(5-d22)］

≤46-(d21+d22)+2•6-d21-d222

=4［12-2(d21+d22)］=4(12－10)

=8，

当且仅当d21+d22=5,

1-d21=5-d22,

即d22=92,

d21=12,时取“=”，

所以a+b的最大值为22.

点拨关注图形中隐含的几何条件d21+d22=OP2=5。

总结：考察直线与圆位置关系时，通常考虑圆心到直线的距离。

牛刀小试

1. 如图,在长方形ABCD中，AB=3,BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起,使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为.

2. 当θ取遍所有值时，直线x•cosθ+y•sinθ=4+2sinθ+π4所围成的图形面积为.

3. 已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点．正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．

【参考答案】

1. 点D在面ABC上的射影K在直线AE上，则D1K⊥平面ABC，从而D1K⊥AE，在翻折过程中，∠AKD始终保持直角，从而点K的轨迹在以AD为直径的圆上，如图.点K在矩形的内部及线段AC的上方，从而点K的轨迹为弧DKF，设线段AD的中点为O，则∠DOF=2∠DAF=2∠DAC=2π3，又半径R=12，所以弧DKF的长度为π3.

2. 如图，点(1,1)到直线的距离为d=4，直线始终与定圆(x－1)2+(y－1)2=16相切,从而动直线所围成的图形为圆，其面积为16π.

3. 设正方形边长为a，∠OBA=θ，则cosθ=a2，θ∈0,π2．

当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在△OBC中，

a2+1－2acosπ2+θ=OC2，

即OC=(2cosθ)2+1+2•2cosθ•sinθ

=4cos2θ+1+2sin2θ

=2cos2θ+2sin2θ+3

=22sin2θ+π4+3，

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